Русская Википедия:Гравитационное поле
Гравитацио́нное по́ле, или по́ле тяготе́ния, — фундаментальное физическое поле, через которое осуществляется гравитационное взаимодействие между всеми материальными телами[1].
Гравитационное поле в классической физике
Закон всемирного тяготения Ньютона
В рамках классической физики гравитационное взаимодействие описывается «законом всемирного тяготения» Ньютона, согласно которому сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками с массами <math>m_1</math> и <math>m_2</math> пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
Здесь <math>G</math> — гравитационная постоянная, приблизительно равная <math>6{,}673 \cdot 10^{-11}</math> м³/(кг с²), <math>r</math> — расстояние между точками.
Решение задачи динамики в общем случае, когда тяготеющие массы нельзя считать материальными точками, подразделяется на два этапа: вначале рассчитывается гравитационное поле, создаваемое этими массами, а затем определяется его действие на массивные тела в изучаемой системе.
Расчёт гравитационного потенциала
Гравитационное поле является потенциальным. Его потенциал <math>\varphi(\mathbf r)</math> удовлетворяет уравнению Пуассона:
- <math>\Delta \varphi(\mathbf r) = -4 \pi G \rho(\mathbf r)</math>,
где <math>\Delta</math> — оператор Лапласа. Решение данного уравнения имеет вид:
- <math>\varphi(\mathbf r) = -G \int_{V^\prime}\frac{\rho(\mathbf r^\prime)dV^\prime}{|\mathbf r-\mathbf r^\prime|}</math>.
Здесь <math>\mathbf r</math> — радиус-вектор точки, в которой определяется потенциал, <math>\mathbf r^\prime</math> — радиус-вектор элемента объёма <math>dV^\prime</math> c плотностью вещества <math>\rho(\mathbf r^\prime)</math>, а интегрирование охватывает все такие элементы. На бесконечности <math>\varphi = 0 </math>.
В частном случае поля, создаваемого расположенной в начале координат точечной массой <math>M</math>, потенциал равен
- <math> \varphi(\mathbf r) = -G \frac{M}{r}</math>.
Этим же выражением описывается потенциал тела со сферически-симметрично распределённой массой <math>M</math>, за его пределами.
В общем случае тела произвольной формы на больших расстояниях от него неплохое приближение для потенциала даёт формулаШаблон:Sfn:
- <math> \varphi(\mathbf r) = -G\left( \frac{M}{r}+\frac{A+B+C-3I}{2r^3}\right),</math>
где за начало координат принят центр масс тела, <math>A, B, C</math> — главные моменты инерции тела, <math>I</math> — момент инерции относительно оси <math>\mathbf r</math>. Эта формула несколько упрощается для астрономических объектов, представляющих собой сплюснутые сфероиды вращения с концентрически однородным распределением масс. У таких тел <math>A=B</math> и <math>I=A+(C-A)\sin^2\alpha,</math> где <math>\alpha</math> — угол между <math>\mathbf r</math> и плоскостью главных осей <math>A</math> и <math>B</math>. В итоге
- <math> \varphi(\mathbf r) = -G\left( \frac{M}{r}+\frac{C-A}{2r^3}(1-3\sin^2\alpha)\right).</math>
Движение в гравитационном поле
Если потенциал поля определён, то сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой <math>m</math>, находится по формуле:
- <math>\mathbf F(\mathbf r) = - m \nabla \varphi(\mathbf r) = -Gm \int_{V^\prime}\frac{\rho(\mathbf r^\prime)(\mathbf r-\mathbf r^\prime)dV^\prime}{|\mathbf r-\mathbf r^\prime|^3}</math>.
В частном случае поля точечной массы <math>M</math>, расположенной в начале координат (<math>\mathbf r^\prime = \mathbf 0</math>), действующая сила составит
- <math>\mathbf F(\mathbf r) = - G\,\frac{mM}{r^3}\,\mathbf r</math>.
Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера. В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам. Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений.
Если исследуемое тело нельзя рассматривать как материальную точку, то его движение в гравитационном поле включает также вращение вокруг оси, проходящей через центр массШаблон:Sfn:
- <math>\frac{d \mathbf H}{dt} = \mathbf K.</math>
Здесь: <math>\mathbf H</math> — угловой момент относительно центра масс, <math>\mathbf K</math> — равнодействующая моментов действующих сил относительно центра масс. Более общий случай, когда масса исследуемого тела сравнима с массой источника поля, известен как задача двух тел, и её формулировка сводится к системе двух независимых движений. Исследование движения более чем двух тел («задача трёх тел») разрешимо только в нескольких специальных случаях.
Недостатки ньютоновской модели тяготения
Практика показала, что классический закон всемирного тяготения позволяет с огромной точностью объяснить и предсказать движения небесных тел. Однако ньютоновская теория содержала ряд серьёзных недостатков. Главный из них — необъяснимое дальнодействие: сила притяжения передавалась неизвестно как через совершенно пустое пространство, причём бесконечно быстро. По существу ньютоновская модель была чисто математической, без какого-либо физического содержания. Кроме того, если Вселенная, как тогда предполагали, евклидова и бесконечна, и при этом средняя плотность вещества в ней ненулевая, то возникает гравитационный парадокс: потенциал поля всюду обращается в бесконечность. В конце XIX века обнаружилась ещё одна проблема: заметное расхождение теоретического и наблюдаемого смещения перигелия Меркурия.
На протяжении более двухсот лет после Ньютона физики предлагали различные пути усовершенствования ньютоновской теории тяготения. Эти усилия увенчались успехом в 1915 году, с созданием общей теории относительности Эйнштейна, в которой все указанные трудности были преодолены. Теория Ньютона оказалась приближением более общей теории, применимым при выполнении двух условий:
- Гравитационный потенциал в исследуемой системе не слишком велик (много меньше <math>c^2</math>). В Солнечной системе это условие для большинства движений небесных тел можно считать выполненным — даже на поверхности Солнца отношение <math>|\varphi| / c^2</math> составляет всего <math>2{,}12 \cdot 10^{-6}</math>. Заметным релятивистским эффектом является только указанное выше смещение перигелия[2].
- Скорости движения в этой системе незначительны по сравнению со скоростью света.
Гравитационное поле в общей теории относительности
Шаблон:Main В общей теории относительности (ОТО) гравитационное поле является не отдельным физическим понятием, а свойством пространства-времени, появляющимся в присутствии материи. Этим свойством является неевклидовость метрики (геометрии) пространства-времени, и материальным носителем тяготения является пространство-время. Тот факт, что гравитацию можно рассматривать как проявление свойств геометрии четырёхмерного неевклидова пространства, без привлечения дополнительных понятий, есть следствие того, что все тела в поле тяготения получают одинаковое ускорение («принцип эквивалентности» Эйнштейна). Пространство-время при таком подходе приобретает физические атрибуты, которые влияют на физические объекты и сами зависят от них.
Пространство-время ОТО представляет собой псевдориманово многообразие с переменной метрикой. Причиной искривления пространства-времени является присутствие материи, и чем больше её энергия, тем искривление сильнее. В ОТО символы Кристоффеля играют роль гравитационного силового поля, а метрический тензор играет роль гравитационного потенциала. Для определения метрики пространства-времени при известном распределении материи надо решить уравнения Эйнштейна. Ньютоновская же теория тяготения представляет собой приближение ОТО, которое получается, если учитывать только «искривление времени», то есть изменение временно́й компоненты метрики, <math>g_{00}</math>[3] (пространство в этом приближении евклидово). Распространение возмущений гравитации, то есть изменений метрики при движении тяготеющих масс, происходит с конечной скоростью, и дальнодействие в ОТО отсутствует.
Другие существенные отличия гравитационного поля ОТО от ньютоновского: возможность нетривиальной топологии пространства, особых точек, гравитационные волны.
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля, § «Закон Ньютона».
