Русская Википедия:Гравитация с массивным гравитоном

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Гравитация с массивным гравитоном — название класса теорий гравитации, в которых частица-переносчик взаимодействия (гравитон) предполагается массивной, примером является релятивистская теория гравитации. Характерная особенность таких теорий — проблема разрыва ван Дама — Вельтмана — Захарова (Шаблон:Lang-en), то есть наличие конечной разности в предсказаниях предела такой теории при массе гравитона, стремящейся к нулю, и теории с безмассовой частицей с самого начала.

Проблемы массивного гравитона в линейном приближении

Общую теорию относительности в линеаризованном пределе можно сформулировать как теорию безмассового поля спина 2 на пространстве Минковского, описываемого симметричным тензором <math>h_{\mu\nu}</math>. Естественным обобщением такой теории является введение в лагранжиан массового члена различного вида. Чаще всего такой член выбирают в виде Паули — Фирца <math>m^2(h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu}h)</math>, что как можно показать, наиболее естественно, однако возможен и другой выбор (типа <math>m^2(h_{\mu\nu} - \alpha\eta_{\mu\nu}h),\ \alpha \neq 1</math>). При этом уравнения движения для гравитационного поля приобретают вид

<math>-\square h_{\mu\nu} + h^\lambda_{\mu,\lambda\nu} + h^\lambda_{\nu,\lambda\mu} - \eta_{\mu\nu}h^{\kappa\lambda}_{,\kappa\lambda} - h_{,\mu\nu} + \eta_{\mu\nu}\square h + m^2(h_{\mu\nu} - \alpha\eta_{\mu\nu}h) = \frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu},</math>

где индексы поднимаются и опускаются метрикой Минковского <math>\eta_{\mu\nu}</math>, <math>\square</math> — оператор д'Аламбера, <math>G</math> — гравитационная постоянная Ньютона, <math>T_{\mu\nu}</math> — тензор энергии-импульса источников поля. Дивергенция этих уравнений в силу законов сохранения должна быть равна 0, что даёт <math>h_{\mu\nu}^{,\nu} = \alpha h_{,\mu}</math> и после подстановки в уравнения и взятия следа

<math>2(\alpha - 1) \square h + m^2 (1 - 4\alpha) h = \frac{16\pi G}{c^4} T.</math>

Поэтому имеется две различные возможности: либо <math>\alpha = 1</math> — тогда след тензора <math>h = -\frac{16\pi G}{3c^4m^2} T </math> не является динамической переменной теории, а всецело определяется следом источника <math>T</math>, либо <math>\alpha \neq 1</math> и <math>h</math> — динамическая переменная. Первый случай даёт обоснование массовому члену Паули — Фирца, но приводит к следующему выражению для гравитационного поля:

<math>\frac{c^4}{16\pi G} h_{\mu\nu} = \frac{1}{-\square + m^2}\left(T_{\mu\nu} - \frac13\eta_{\mu\nu}T\right) + \frac1{3m^2}\frac{1}{-\square + m^2}T_{,\mu\nu},</math>

где введено краткое обозначение <math>\frac{1}{-\square + m^2}</math> для интегрального оператора, обратного дифференциальному <math>(-\square + m^2)</math>, в отличие от

<math>\frac{c^4}{16\pi G} h_{\mu\nu} = \frac{1}{-\square}\left(T_{\mu\nu} - \frac12\eta_{\mu\nu}T\right)</math>

в линеаризованной общей теории относительности. Таким образом, получаемая теория имеет две проблемы при <math>m \to 0</math>, выражающиеся в неправильной величине гравитационных эффектов от первого слагаемого (1/3 вместо 1/2), а также в стремлении второго из них к бесконечности. Первый отмеченный эффект и носит название разрыва ван Дама — Вельтмана — Захарова по именам первооткрывателей. В частности, из-за этого отклонение света в теории <math>m \to 0</math> составляет 3/4 величины общей теории относительности, а прецессия перигелия — 2/3.

Второй подход приводит к появлению новой динамической степени свободы, которая восстанавливает предсказания до нужного уровня, так как общее решение имеет вид

<math>\frac{c^4}{16\pi G} h_{\mu\nu} = \frac{1}{-\square + m^2}\left(T_{\mu\nu} - \frac13\eta_{\mu\nu}T\right) - \frac{1}{-\square+m_0^2}\frac16\eta_{\mu\nu} T + \frac{2\alpha - 1}{2(1 - \alpha)}\frac{1}{-\square + m^2}\frac{1}{-\square + m_0^2}T_{,\mu\nu},</math>

где <math>m_0^2 = m^2 \frac{4\alpha - 1}{2(1 - \alpha)}</math>, и при <math>m \to 0</math> первый и второй член дают 1/3 + 1/6 = 1/2. Но при взаимодействии с материей второй член участвует со знаком, противоположным первому, так что он представляет собой скалярное поле отрицательной энергии (Шаблон:Lang-en), что вызывает нестабильность теории по отношению к перекачке в него энергии.

Вообще корень проблемы лежит в разложении массивного поля спина 2 по спиральностям и их взаимодействии с веществом. При стремлении массы поля к нулю компоненты спиральности <math>\pm 1</math> отделяются от остальных, образуя независимое свободное безмассовое поле Максвелла, но компоненты спиральности <math>\pm 2</math> и <math>0</math> остаются зацеплёнными и взаимодействуют с веществом совместно. Ситуацию можно решить добавлением ещё одного скалярного поля, но для восстановления корректного предела оно должно иметь отрицательную энергию, что опять-таки недопустимо в стабильной теории поля.

Более подробный разбор, не ограничивающийся линеаризованным приближением, проведён в работах .