Русская Википедия:Градиент
Градие́нт (от Шаблон:Lang-la — «шагающий, растущий») — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего роста некоторой скалярной величины <math>\varphi</math> (значение которой меняется от одной точки пространства к другой, образуя скалярное поле).
Градиент поля <math>\varphi</math> обозначается: <math>\mathrm{grad}\ \varphi</math>. По величине (модулю) градиент равен скорости роста величины <math>\varphi</math> в направлении вектора[1]Шаблон:Sfn. Например, если взять в качестве <math>\varphi</math> высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», а своей величиной характеризовать крутизну склона.
Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности.
Термин впервые появился в метеорологии для исследования изменений температуры и давления атмосферы, а в математику был введён Максвеллом в 1873 году; обозначение <math>\mathrm{grad}</math> тоже предложил Максвелл. Наряду со стандартным обозначением <math>(\mathrm{grad}\,\varphi)</math> часто используется компактная запись с использованием оператора набла: <math>\nabla \varphi.</math>
Иллюстрация применения
Пусть температура в комнате задана с помощью скалярного поля T таким образом, что в каждой точке, заданной координатами (x, y, z) температура равняется T(x, y, z) (предположим, что температура не изменяется с течением времени). В каждой точке комнаты градиент функции T будет показывать направление, в котором температура возрастает быстрее всего. Величина градиента определяет, насколько быстро температура возрастает в данном направлении.
Определение и вычисление
Для случая трёхмерного пространства градиентом дифференцируемой в некоторой области скалярной функции <math>\varphi = \varphi(x,y,z)</math> координат <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> называется векторная функция с компонентами
- <math>\frac {\partial \varphi} {\partial x}, \frac {\partial \varphi} {\partial y}, \frac {\partial \varphi} {\partial z}.</math>[2]
Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат <math>\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z</math>:
- <math>\mathrm{grad}\,\varphi = \nabla \varphi = \frac {\partial \varphi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \varphi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \varphi} {\partial z} \vec e_z.</math>
Если <math>\varphi</math> — функция <math>n</math> переменных <math>x_1,\;\ldots,\;x_n</math>, то её градиентом называется <math>n</math>-мерный вектор
- <math>\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_1},\;\ldots,\;\frac{\partial \varphi}{\partial x_n}\right),</math>
компоненты которого равны частным производным <math>\varphi</math> по всем её аргументам.
- Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идёт речь.
- Оператором градиента называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) даёт её градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».
Смысл градиента любой скалярной функции <math>f</math> в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения <math>d\mathbf{x}</math> даёт полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена <math>f</math>, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения <math>f</math> при смещении на <math>d\mathbf{x}</math>. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:
- <math>df = \frac {\partial f} {\partial x_1}\,dx_1 + \frac {\partial f} {\partial x_2}\,dx_2
+ \frac {\partial f} {\partial x_3}\,dx_3 + \ldots = \sum_i \frac {\partial f} {\partial x_i}\,dx_i = (\mathrm{grad}\,\mathbf{f} \cdot d\mathbf x).</math>
Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат <math>x_i</math>, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку <math>d\mathbf{x}</math> — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:
- <math>d f = \sum_i (\partial_i f)\,dx^i</math>
или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,
- <math>df=(\partial_i f)\,dx^i</math>
(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.
Используя интегральную теорему
- <math>\iiint\limits_{V}\nabla\varphi\,dV=\iint\limits_{S} \varphi\,d\mathbf{s}</math>,
градиент можно выразить в интегральной форме:
- <math>\nabla\varphi=\lim\limits_{V \to 0}\frac{1}{V}\left(\iint\limits_{S} \varphi\,d\mathbf{s}\right),</math>
здесь <math>\it{S}</math> — замкнутая поверхность охватывающая объём <math>\it{V}, d\mathbf{s}</math> — нормальный элемент этой поверхности.
Пример
Например, градиент функции <math>\varphi(x,\;y,\;z)=2x+3y^2-\sin z</math> будет представлять собой:
- <math>\nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\;\frac{\partial \varphi}{\partial y},\;\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)=(2,\;6y,\;-\cos z).</math>
Некоторые применения
Геометрический смысл
Рассмотрим семейство линий уровня функции <math>\varphi</math>:
- <math>\gamma(h)=\{(x_1,\;\ldots,\;x_n)\mid \varphi(x_1,\;\ldots,\;x_n)=h\}.</math>
Нетрудно показать, что градиент функции <math>\varphi</math> в точке <math>\vec{x}{\,}^0</math> перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности <math>\vec{x}{\,}^0</math>, то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъёма в данной точке.
В физике
В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.
Например, напряжённость электростатического поля есть минус градиент электростатического потенциала, напряжённость гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала. Консервативная сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии.
В других естественных науках
Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далёких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).
Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т. д.
Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.
В экономике
В экономической теории понятие градиента используется для обоснования некоторых выводов и для оптимизации. В частности, используемые для нахождения оптимума потребителя метод множителей Лагранжа и условия Куна — Таккера (позаимствованные из естественных наук) основаны на сопоставлении градиентов функции полезности и функции бюджетного ограничения.
Связь с производной по направлению
Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции <math>\varphi</math> по направлению <math>\vec{e}=(e_1,\;\ldots,\;e_n)</math> равняется скалярному произведению градиента <math>\varphi</math> на единичный вектор <math>\vec{e}</math>:
- <math> \frac{\partial \varphi}{\partial \vec e}=\frac{\partial \varphi} {\partial x_1} e_1+\ldots+\frac{\partial \varphi}{\partial x_n} e_n = (\nabla \varphi,\;\vec e).</math>
Таким образом, для вычисления производной скалярной функции векторного аргумента по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.
Градиент в ортогональных криволинейных координатах
- <math>\operatorname{grad}\,U(q_1,\;q_2,\;q_3) = \frac{1}{H_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}\vec{e}_1 + \frac{1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial q_2}\vec{e}_2 + \frac{1}{H_3}\frac{\partial U}{\partial q_3}\vec{e}_3,</math>
где <math>H_i</math> — коэффициенты Ламе.
Полярные координаты (на плоскости)
Коэффициенты Ламе:
- <math>\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \end{matrix}.</math>
Отсюда:
- <math>\operatorname{grad}\,U(r,\;\theta) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta}.</math>
Цилиндрические координаты
Коэффициенты Ламе:
- <math>\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = 1 \end{matrix}.</math>
Отсюда:
- <math>\operatorname{grad}\,U(r,\;\theta,\;z) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\vec {e_\theta} + \frac{\partial U}{\partial z}\vec {e_z}.</math>
Сферические координаты
Коэффициенты Ламе:
- <math>\begin{matrix}H_1 = 1 \;\;\;\;\;\; \\H_2 = r\;\;\;\;\;\; \\H_3 = r\sin{\theta}\end{matrix} .</math>
Отсюда:
- <math>\operatorname{grad}\,U(r,\;\theta,\;\varphi) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta} + \frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial U}{\partial\varphi}\vec {e_\varphi}.</math>
Вариации и обобщения
Пусть <math>u\colon X\to Y</math> — отображение между метрическими пространствами. Борелева функция <math>\rho\colon X\to \R</math> называется верхним градиентом <math>u</math> если следующее неравенство
- <math>|u(p)-u(q)|_Y\le \int\limits_\gamma \rho</math>
выполняется для произвольной спрямляемой кривой <math>\gamma</math>, соединяющей <math>p</math> и <math>q</math> в <math>X</math>.[3]
См. также
- 4-градиент
- Векторный анализ
- Градиент концентрации
- Градиентные методы
- Оператор Кэнни
- Теорема Остроградского — Гаусса
- Формулы векторного анализа
Примечания
Шаблон:Примечания Шаблон:ВикисловарьШаблон:Викисловарь
Литература
Ссылки
Шаблон:BCШаблон:Дифференциальное исчисление
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ 6.2 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.
