Русская Википедия:Градуированная алгебра
Градуированная алгебра — алгебра <math display="inline">A</math>, разложенная в прямую сумму <math display="inline">A=\bigoplus_{r=-\infty}^{\infty} A_r</math> своих подпространств <math>A_r</math> таким способом, что выполняется условие <math display="inline">A_rA_s\subset A_{r+s}\ (r, s\in\mathbb{Z})</math>.[1][2]
Определение
Пусть A — алгебра над кольцом k, G — полугруппа.
Алгебра A называется G-градуированной (синоним: на A задана G-градуировка), если A разлагается в прямую сумму k-модулей <math>A_g</math> по всем элементам g из G, причём умножение в алгебре согласовано с умножением в полугруппе:
- <math>A_f A_g \subset A_{fg}</math>
Если ненулевой элемент a принадлежит <math>A_g</math>, то он называется однородным степени g.
Когда в качестве G берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру A называют просто градуированной.
Если в качестве A в определении выше взять кольцо, то получится определение градуированного кольца.
Конструкции с градуировками
- Если A — G-градуированная алгебра, а <math>\psi : G\to H</math> — гомоморфизм полугрупп, тогда A наделяется H-градуировкой по правилу:
- <math>A_h=\oplus_{\{g\in G \mid \psi (g)=h\}} A_g</math>
- На любой алгебре A можно ввести тривиальную градуировку любой полугруппой G с единицей e, полагая <math>A_e=A</math>, поэтому такие «бедные» градуировки рассматривать не имеет смысла.
- Над полем <math>\mathbb{C}</math> любая алгебра A градуируется группой G характеров максимального тора своей группы алгебраических автоморфизмов:
- <math>G=(T(\operatorname{Aut}_{k\text{-alg}}(A)))^\vee:\quad A_g=\{a\in A \mid \phi (a)=g(\phi)a</math> для всякого <math>\phi\in T(\operatorname{Aut}_{k\text{-alg}}(A))\}</math>
- Эта градуировка, в вышеопределённом смысле, — «самая богатая» из всех абелевых градуировок алгебры A, поскольку на любой G-градуированной алгебре A группа характеров G действует автоморфизмами, по той же формуле.
Примеры
- Кольцо многочленов от одной или нескольких переменных.
- Кольцо когомологий.
- Алгебра матриц порядка n градуируется группой <math>\mathbb{Z}_{n-1}.</math>
- Шаблон:Iw <math>K\left[G\right]</math> — является G-градуированной алгеброй.
Градуированный модуль
Соответствующее понятие в теории модулей — градуированный модуль, а именно, левый модуль M над градуированным кольцом A, такой, что
- <math display="inline">M = \bigoplus_{i\in \mathbb Z}M_i</math> и <math display="inline">A_iM_j \subseteq M_{i+j}.</math>
Морфизм градуированных модулей <math>f: N \to M</math> — это морфизм модулей, который сохраняет градуировку, то есть <math>f(N_i) \subseteq M_i</math>.
Для градуированного модуля M можно определить ℓ-подкрутку <math>M(\ell)</math> как градуированный модуль, определённый правилом <math>M(\ell)_n = M_{n+\ell}</math>. (См. скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии.)
Пусть M и N — градуированные модули. Если <math>f: M \to N</math> — морфизм модулей, то говорят, что f имеет степень d, если <math>f(M_n) \subset N_{n+d}</math>. Внешняя производная дифференциальной формы в дифференциальной геометрии — это пример морфизма степени 1.
Литература
Примечания
- ↑ Данная градуированная алгебра называется также <math display="inline">\mathbb{Z}</math>-градуированной.
- ↑ Шаблон:Книга
