Русская Википедия:Граница Синглтона

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Граница Синглтона (названная в честь Р. К. Синглтона) устанавливает предел мощности кода <math>C</math> с символами из поля <math>\mathbb{F}_q</math> длины <math>n</math> и минимального расстояния Хэмминга <math>d</math>.

Для <math>A_q(n,\;d)</math> - максимально возможной мощности <math>q</math>-ичного кода длины <math>n</math> (<math>q</math>-ичный код — это код над полем из <math>q</math> элементов) с минимальным расстоянием Хэмминга между двумя словами кода <math>d</math> (то есть <math>\mathrm D_H(w,\;w')\geqslant d</math> для любых двух кодовых слов <math>w</math> и <math>w'</math>) выполняется следующее неравенство:

<math>A_q(n,\;d)\leqslant q^{n-d+1}.</math>

Доказательство

В первую очередь заметим, что верхняя граница максимальной мощности любого <math>q</math>-ичного кода длины <math>n</math> равняется <math>q^n</math>, так как каждый компонент данного кодового слова может принимать одно из <math>q</math> разных значений независимо от других компонентов.

Пусть <math>C</math> является <math>q</math>-ичным кодом. Тогда все слова <math>c \in C</math> в кодe отличны друг от друга. Если мы сотрём первые <math>d-1</math> символов каждого слова, тогда все оставшиеся кодовые слова должны оставаться разными, так как расстояние Хэмминга между словами кода <math>C</math> по меньшей мере <math>d</math>. Следовательно мощность кода после удаления <math>d-1</math> символов осталась прежней.

Длина нового слова

<math>n-(d-1)=n-d+1,</math>

и следовательно максимально возможной мощностью такого кода является

<math>q^{n-d+1}.</math>

Отсюда следует верхняя граница мощности и для изначального кода:

<math>A_q(n,\;d)\leqslant q^{n-d+1}.</math>

Линейные коды

Для линейных кодов с <math>k</math> информационными символами неравенство для границы Синглтона можно записать как

<math>q^k\leqslant q^{n-d+1}</math>

или

<math>k\leqslant n-d+1.</math>

Линейные коды, для которых выполняется равенство <math>k=n-d+1</math>, называются разделимыми кодами с максимальным расстоянием или кодами МДР. Известными представителями этого семейства кодов являются код Рида — Соломона и коды, образуемые из него.

Литература

• R. C. Singleton. Maximum distance q-nary codes. IEEE Transactions on Information Theory, 10:116-118 [1, 11], 1964.
• Y. Komamiya. Application of logical mathematics to information theory. Proceedings of the 3rd Japanese National Congress for Applied Mathematics, 437 [1], 1953.

См. также

• Неравенство Гильберта — Варшамова
• Граница Плоткина
• Граница Хэмминга
• Граница Джонсона