Русская Википедия:Граф Хигмана — Симса
Граф Хигмана — Симса — это 22-регулярный неориентированный граф со 100 вершинами и 1100 рёбрами. Граф является уникальным сильно регулярным графом srg(100,22,0,6), т.е. никакая соседняя пара вершин не имеет общих соседей и любая несоседняя пара вершин имеет шесть общих соседей[1]. Граф был впервые построен МеснеромШаблон:Sfn и был переоткрыт в 1968 Дональдом Дж. Хигманом и Чарльзом Симсом как путь определения Шаблон:Не переведено 5 и эта группа является подгруппой с индексом два в группе автоморфизмов графа Хигмана — СимсаШаблон:Sfn.
Построение начинается с графа M22, 77 вершин которого являются блоками S(3,6,22) системы Штейнера W22. Смежные вершины определяются как непересекающиеся блоки. Этот граф является сильно регулярным srg(77,16,0,4), т.е. любая вершина имеет 16 соседей, любые 2 смежные вершины не имеют общих соседей и любые 2 несмежные вершины имеют 4 общих соседа. Этот граф имеет M22:2 в качестве группы автоморфизмов, где M22 является группой Матьё.
Граф Хигмана — Симса формируется путём добавления 22 точек W22 и 100-й вершины C. Соседи вершины C определяются как эти 22 точки. Точка смежна блоку тогда и только тогда, когда она принадлежит блоку.
Граф Хигмана — Симса можно разбить на две копии графа Хоффмана — Синглтона 352 способами.
Алгебраические свойства
Группа автоморфизмов графа Хигмана — Симса является группой порядка 88 704 000, изоморфной полупрямому произведению Шаблон:Не переведено 5 порядка 44 352 000 на циклическую группу порядка 2[2]. Граф имеет автоморфизмы, переводящие любое ребро в любое другое ребро, что делает граф Хигмана — Симса рёберно-транзитивнымШаблон:Sfn.
Характеристическим многочленом графа Хигмана — Симса является <math>(x - 22)(x - 2)^{77}(x + 8)^{22}</math>. Таким образом, граф Хигмана — Симса является целым графом — его спектр состоит исключительно из целых чисел. Граф является также единственным графом с таким характеристическим многочленом, так что граф полностью определяется своим спектром.
Внутри решётки Лича
Граф Хигмана — Симса естественным образом Шаблон:Не переведено 5 внутри решётки Лича — если X, Y и Z являются тремя точками в решётке Лича, такими, что расстояния XY, XZ и YZ равны <math>2, \sqrt{6}, \sqrt{6}</math> соответственно, то существует в точности 100 точек T решётки Лича, таких, что все расстояния XT, YT и ZT равны 2, и если мы соединим две такие точки T и T′, когда расстояние между ними равно <math> \sqrt{6} </math>, получившийся граф будет изоморфен графу Хигмана — Симса. Более того, множество всех автоморфизмов решётки Лича (то есть движение евклидового пространства, сохраняющих её) сохраняющих точки X, Y и Z, является группой Хигмана — Симса (если мы позволим обмен X и Y, получим расширение всех автоморфизмов графа порадка 2). Это показывает, что группа Хигмана — Симса обнаруживается внутри групп Конвея Co2 (с расширением порядка 2) и Co3, а следовательно, также внутри группы Co1Шаблон:Sfn.
Примечания
Литература
