Русская Википедия:Гребень Дирака

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:DiracComb.png

Гребень Дирака — бесконечный ряд

Гребень Дира́ка — это периодическое распределение Шварца, построенное из дельта-функций

<math>\Delta_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T)</math>

для некоторого заданного периода <math>T</math>.

Ряды Фурье

Очевидно, что <math>\Delta_{T}(t)</math> периодическая с периодом <math>T</math>. Поэтому

<math>\Delta_T(t+T) = \Delta_T(t)</math>

для всех <math>t</math>. Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции

<math> \Delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i 2 \pi n t/T} \ </math>

где <math>c_{n}</math> коэффициенты Фурье, равные

<math>c_n</math>	<math>= \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \quad ( -\infty < t_0 < +\infty ) \ </math>
	<math>= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \ </math>
	<math>= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \ </math>
	<math>= \frac{1}{T} e^{-i 2 \pi n \, 0/T} \ </math>
	<math>= \frac{1}{T}. \ </math>

В результате того, что все коэффициенты Фурье равны <math>1/T</math>, получаем окончательное выражение

<math>\Delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi n t/T}</math>.

Ссылки

• Шаблон:Citation; 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.
• Шаблон:Citation