Русская Википедия:Группа Баумслага — Солитера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Baumslag-Solitar Cayley 3D.svg

Граф Кэли группы <math>BS(1, 2)</math>.

Группа Баумслага — Солитера  — группа с двумя образующими <math>a</math> и <math>b</math> и одним соотношением

<math>

ab^m a^{-1}=b^n. </math> Обычно, эта группа обычно обозначается <math>BS(m,n)</math>.

Примеры и свойства

• <math>BS(1,1)</math> это свободная абелева группа с двумя образующими,
• <math>BS(1,-1)</math> фундаментальная группа бутылки Клейна
• <math>BS(1,n)</math> при <math>n>1</math> изоморфна подгруппе группы аффинных преобразований вещественной прямой, порождённая отображениями <math>a:x\to nx</math> и <math>b:x\to x+1</math>.
• Группа <math>BS(2,3)</math> (наряду с остальными группами <math>BS(m, n)</math>, для которых множества простых делителей чисел m и n не совпадают) является наиболее известным примером нехопфовой группы. А именно, эпиморфизм <math>\varphi:a\mapsto a, \, \varphi:b\mapsto b^2</math> не является автоморфизмом <math>BS(2,3)</math>.
• Группа <math>BS(n,m)</math> допускает линейное представление <math>a\mapsto \big(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\big)</math> and <math>b\mapsto \big(\begin{smallmatrix}\frac{n}{m}&0\\0&1\end{smallmatrix}\big)</math>.
  • Это преставление не является эффективным, то есть различные элементы группу могут соответствовать одному линейному оператору.
• Группа <math>BS(m,n)</math> остаточно конечна тогда и только тогда когда <math>|m|=1</math>, <math>|n|=1</math>, или <math>|m|=|n|</math>

Ссылки

• D.J. Collins (2001), «Baumslag-Solitar group Шаблон:Wayback», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
• Gilbert Baumslag and Donald Solitar, Some two-generator one-relator non-Hopfian groups Шаблон:Wayback, Bulletin of the American Mathematical Society 68 (1962), 199—201. Шаблон:MathSciNet