Русская Википедия:Группа Гротендика
Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе в теории представлений, алгебраической геометрии, K-теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950-х годов.
Пусть <math>M</math> — коммутативный моноид, т. е. коммутативная полугруппа с нейтральным элементом. Операцию в <math>M</math> назовём сложением. Группа Гротендика моноида <math>M</math> (обозначается обычно <math>K</math> или <math>K_0</math>) — это абелева группа, которая является (в определённом смысле) расширением моноида <math>M</math> до группы, т. е. допускает операцию не только суммы, но и разности двух элементов.
Универсальное свойство
Говоря неформально, группа Гротендика коммутативного моноида — это универсальный способ сделать из моноида абелеву группу, «группифицировать» моноид.
Пусть <math>M</math> — коммутативный моноид. Тогда его группа Гротендика <math>K</math> должна обладать следующим универсальным свойством: существует гомоморфизм моноидов
- <math> i \colon M \rightarrow K </math>
такой, что для любого гомоморфизма моноидов
- <math> f \colon M \rightarrow A </math>
в абелеву группу <math>A</math> существует единственный гомоморфизм абелевых групп
- <math> g \colon K \rightarrow A </math>
такой, что
- <math> f = g \circ i. </math>
В терминах теории категорий функтор, переводящий коммутативный моноид <math>M</math> в его группу Гротендика <math>K</math>, является левым сопряжённым функтором забывающего функтора из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.
Явное определение
Рассмотрим декартово произведение <math>M \times M</math>, элементами которого являются пары <math>(a,b)</math>, где <math>a,b \in M</math>. По определению, пары <math>(a,b)</math> соответствуют разностям <math>a-b</math>, сложение которых задается формулой
- <math>(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').</math>
Определённое таким образом сложение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности (вытекающими из аналогичных свойств моноида <math>M</math>).
Для того, чтобы определить группу Гротендика <math>K</math>, нужно ввести на множестве <math>M \times M</math> отношение эквивалентности, при котором эквивалентными являются элементы <math>(a,b)</math> и <math>(a',b')</math>, для которых выполнено равенство
- <math>a+b'+c = a'+b+c</math>
с некоторым элементом <math>c \in M</math>. Выполнение свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности проверяется тривиально. В силу данного определения, класс эквивалентности элемента <math>(a,b)</math> включает в себя элементы <math>(a+c,b+c)</math> при всех <math>c \in M</math>. Этот класс называется формальной разностью элементов <math>a</math> и <math>b</math> и обозначается <math>a-b</math>.
Множество определенных таким образом формальных разностей (классов эквивалентности) с операцией сложения составляет группу Гротендика <math>K</math> моноида <math>M</math>.
Нейтральный (нулевой) элемент группы <math>K</math> — это класс эквивалентности, состоящий из пар вида <math>(a,a)</math> при всевозможных <math>a \in M</math>. Элемент, противоположный к элементу <math>(a,b)</math>, имеет вид <math>(b,a)</math> (и в первом, и во втором случае подразумеваются соответствующие классы эквивалентности).
Имеется естественное вложение <math>M \to K</math>, которое позволяет считать <math>K</math> расширением <math>M</math>. Именно, каждому элементу <math>a \in M</math> ставится в соответствие формальная разность <math>a-0</math>, т.е. класс элементов <math>(a+c,c)</math> при всевозможных <math>c \in M</math>.
Примеры
Простейший пример группы Гротендика — построение целых чисел по натуральным. Сначала мы проверяем, что натуральные числа с обычным сложением <math>(\mathbb N, +)</math> действительно образуют коммутативный моноид. Теперь, используя конструкцию группы Гротендика, рассмотрим формальные разности натуральных чисел <math>n-m</math> с отношением эквивалентности
- <math>n - m \sim n' - m' \leftrightarrow n + m' = n'+ m.</math>
Теперь определим
- <math> n := [n - 0], </math>
- <math> -n := [0 - n] </math>
для всех <math>n \in \mathbb N</math>. Эта конструкция определяет целые числа <math>\mathbb Z</math>.
Ссылки
- Grothendieck group Шаблон:Wayback на PlanetMath.
- Michael Atiyah. K-Theory, (Notes taken by D. W. Anderson, Fall 1964), published in 1967, W. A. Benjamin Inc., New York.
- Jonathan Rosenberg. Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag, 1994, Шаблон:ISBN.
