Русская Википедия:Группа Коксетера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Группа Коксетера — группа, порождённая отражениями в гранях <math>n</math>-мерного многогранника, у которого каждый двугранный угол составляет целую часть от <math>\pi</math> (то есть равен <math>\pi/k</math> для некоторого целого <math>k</math>). Такие многогранники называются многогранниками Коксетера. Группы Коксетера определяются для многогранников в евклидовом пространстве, на сфере, а также в пространстве Лобачевского.

Примеры

• Конечным группам Коксетера изоморфны, в частности, группы Вейля простых алгебр Ли.
• Многогранники Коксетера в евклидовом пространстве размерности <math>n</math>:
  • <math>n</math>-мерный куб произвольной размерности.
  • <math>n</math>-мерный симплекс, образованный точками с координатами <math>(x_1,x_2,\dots,x_n)</math> такими, что <math>0\leqslant x_1\leqslant x_2\leqslant\ldots\leqslant x_n\leqslant 1</math>.
• Многогранники Коксетера в единичной сфере размерности <math>n</math>:
  • правильный <math>n</math>-мерный симплекс со стороной <math>\pi/2</math>.
• Многогранники Коксетера в пространствах Лобачевского:
  • Правильный <math>k</math>-многоугольник с углом <math>\pi/m</math>.
  • Правильный прямоугольный додекаэдр в размерности <math>3</math>.
  • Правильный прямоугольный стодвадцатиячейник в размерности <math>4</math>.

Свойства

• Группы Коксетера описываются и классифицируются с помощью диаграмм Коксетера — Дынкина.
• Многогранник Коксетера является фундаментальной областью действия группы Коксетера.
  • В частности, многогранник Коксетера замощает пространство.
  • В частности, любая евклидова группа Коксетера является примером точечной группы.
• Теорема Винберга. В пространствах Лобачевского всех достаточно больших размерностей ограниченных многогранников Коксетера не существует.
• Сферические многогранники Коксетера являются симплексами.
• Многогранники Коксетера являются простыми.
• Обозначим через <math>\{r_1,r_2,\ldots,r_n\}</math> отражения в гранях многогранника, и пусть <math>\pi/m_{ij}</math> есть двугранный угол между гранями <math>i</math> и <math>j</math>. Положим <math>m_{ij}=\infty</math>, если грани не образуют двугранного угла в многограннике, и <math>m_{ii}=1</math>. Тогда группу Коксетера можно задать следующим образом:

  <math>\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle</math>

Вариации и обобщения

• Группами Коксетера также называется обобщение класса групп, описанного выше, определяемое с помощью задания:

  <math>\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle</math>,

где <math>m_{ii}=1</math> и <math>m_{ij}\geqslant 2</math> при <math>i\neq j</math>.

См. также

• Группа комплексных отражений
• Число Коксетера

Литература

• Шаблон:Статья Шаблон:Jstor