Русская Википедия:Группа Кремоны
Группа Кремоны — это группа бирациональных автоморфизмов <math>n</math>-мерного проективного пространства над полем <math>k</math>. Группу ввёл в рассмотрение в 1863—1865 годах Луиджи КремонаШаблон:SfnШаблон:Sfn. Группа обозначается как <math>Cr(\mathbb{P}^n(k))</math>, <math>Bir(\mathbb{P}^n(k))</math> или <math>Cr_n(k)</math>.
Группа Кремоны естественным образом отождествляется с группой автоморфизмов <math>\mathrm{Aut}_k(k(x_1, ..., x_n)) </math> поля рациональных функций от <math>n</math> неизвестных над <math>k</math>, или трансцендентным расширением поля <math>k</math> со степенью трансцендентности <math>n</math>.
Проективная полная линейная группа порядка <math>n+1</math> проективных преобразований содержится в группе Кремоны порядка <math>n</math>. Они совпадают только в случаях, когда <math>n=0</math> или <math>n=1</math>, в которых числитель и знаменатель преобразования линейны.
Группа Кремоны в пространствах размерности 2
В пространствах размерности два ГизатуллинШаблон:Sfn дал полное описание соотношений для системы образующих группы. Структура этой группы остаётся не вполне понятной, хотя имеется большое число работ по нахождению её элементов или подгрупп.
- Серж Канта и Стефан ЛамиШаблон:Sfn показали, что группа Кремоны не проста как абстрактная группа.
- Жереми Бланк показал, что группа не имеет нетривиальных нормальных подгрупп, замкнутых в естественной топологии.
- Долгачёва и Исковских написали статью о конечных подгруппах группы КремоныШаблон:Sfn.
Группа Кремоны в пространствах размерности 3 и больше
Мало известно о структуре группы Кремоны в пространствах размерности 3 и выше, хотя много элементов этой группы описано. БланкШаблон:Sfn показал, что она (линейно) связна, ответив на вопрос СерраШаблон:Sfn. Нет простого аналога теореме Нётера — Кастельнуово, поскольку ХадсонШаблон:Sfn показала, что группа Кремоны в размерности по меньшей мере 3 не порождается её элементами степени, ограниченной любым фиксированным числом.
Группы де Жонкьера
Группа де Жонкьера[1] — это подгруппа группы Кремоны следующего вида. Выберем базис трансцендентности <math>x_1, ..., x_n</math> для расширения поля <math>k</math>. Тогда группа де Жонкьера — это подгруппа автоморфизмов <math>k(x_1, ...,x_n)</math>, отображающих подполе <math>k(x_1, ...,x_r)</math> в себя для некоторого <math>r\leqslant n</math>. Она имеет нормальную подгруппу, заданную группой Кремоны автоморфизмов <math>k(x_1, ..., x_n)</math> над полем <math>k(x_1, ..., x_r)</math>, а фактор-группа является группой Кремоны <math>k(x_1, ..., x_r)</math> над полем <math>k</math>. Она может считаться группой бирациональных автоморфизмов расслоённого пучка <math>\mathbb{P}^r\times \mathbb{P}^{n-r} \to \mathbb{P}^r</math>.
Если <math> n=2</math> и <math> r=1</math>, группа де Жонкьера является группой Кремоны преобразований, сохраняющих пучок прямых через данную точку, и она является полупрямым произведением <math>\mathrm{PGL}_2(k)</math> и <math>\mathrm{PGL}_2(k(t))</math>.
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- ↑ Имеется разное написание фамилии. Так, И. Р. Шафаревич пишет её через дефис: де-Жонкьер. Шафаревич даёт следующее определение группы де-Жонкьера:
- преобразование де-Жонкьера: <math>(x_1, x_2,\dots, x_n)\to(y_1, y_2,\dots, y_n)</math>, где <math>y_i=a_{i}x_i+f_i(x_{i+1},\dots,x_n), a_i\ne 0</math> и <math>f_i</math> — произвольный многочлен от переменных <math>x_{i+1},\dots,x_{n}</math>.
