Русская Википедия:Группа Шрёдингера
Группа Шрёдингера — это группа симметрии конфигурационного пространства уравнения Шрёдингера. Её образуют преобразования, отображающие физически эквивалентные точки конфигурационного пространства друг в друга. Группа Шрёдингера может быть определена из общих физических соображений. В неё входят: преобразование, осуществляющее перестановку электронов; преобразование, осуществляющее вращение системы координат; преобразование ГалилеяШаблон:Sfn.
Для группы Шрёдингера уравнения Шрёдингера свободной частицы вида:
- <math>i\frac{\partial \Psi}{\partial t}-\frac{1}{2M}\nabla^{2}\Psi = 0</math>
при преобразовании Галилея вида:
- <math>q \rightarrow q' = Rq+Vt+a</math>
и
- <math>t \rightarrow t' = t + b</math>
может быть получена алгебра Шрёдингера.
Алгебра Шрёдингера
Алгебра Шрёдингера это алгебра Ли группы Шрёдингера.
Она содержит алгебру Галилея с центральным расширением.
- <math>[J_i,J_j]=i \epsilon_{ijk} J_k,</math>
- <math>[J_i,P_j]=i \epsilon_{ijk} P_k,</math>
- <math>[J_i,K_j]=i \epsilon_{ijk} K_k,</math>
- <math>[P_i,P_j]=0, [K_i,K_j]=0, [K_i,P_j]=i \delta_{ij} M,</math>
- <math>[H,J_i]=0, [H,P_i]=0, [H,K_i]=i P_i,</math>
- <math>[H_i,H_j]=0.</math>Шаблон:Sfn
Тут
- <math>J = L + S = \left [ QP \right ] + S = -i \left [ P \frac{\partial}{\partial P} \right ] + S</math> — оператор полного момента количества движения, отвечающий вращениям <math>R</math>,
- <math>P</math> — оператор импульса, отвечающий смещению в пространстве на отрезок <math>a</math>,
- <math>H</math> — оператор энергии, отвечающий сдвигу начала отсчёта по временной шкале на <math>b</math>,
- <math>K = iM \frac{\partial}{\partial P}+iP\frac{\partial}{\partial H}</math> — оператор, отвечающий галилеевскому преобразованию <math>V</math>.Шаблон:Sfn
Центральное расширение M интерпретируется как нерелятивистская масса и соответствует симметрии уравнения Шрёдингера при фазовых преобразованиях (и отвечает сохранению вероятности).
Алгебра Шрёдингера имеет две инвариантные величины:Шаблон:Sfn
- <math>P^2-2MH=2ME</math> — здесь <math>E</math> можно рассматривать как внутреннюю энергию.
- <math>\left ( MJ-\left [KP\right ]\right )^2 = M^2S^2=M^2s(s+1)</math> — здесь <math>S</math> можно рассматривать как внутренний момент количества движения частицы.
Ещё есть два генератора, которые мы обозначим <math>D</math> и <math>C</math>. У них следующие коммутационные соотношения:
- <math>[H,C]=i D, [C,D]=-2i C, [H,D]=2i H,</math>
- <math>[P_i,D]=i P_i, [K_i,D]=-iK_i,</math>
- <math>[P_i,C]=-iK_i,[K_i,C]=0,</math>
- <math>[J_i,C]=[J_i,D]=0.</math>
Генераторы <math>H</math>, <math>C</math> и <math>D</math> образуют алгебру <math>sl(2,R)</math>.
Роль группы Шрёдингера в математической физике
Хотя группа Шрёдингера и определяется как группа симметрии свободного уравнения Шрёдингера, она реализуется в некоторых нерелятивистских системах с взаимодействием (к примеру, холодные атомы в критической точке).
Группа Шрёдингера d пространственных размерностей может быть вложена в релятивистскую конформную группу в d+1 размерностях SO(2,d+2). Это вложение отвечает тому факту, что можно получить уравнение Шрёдингера из безмассового уравнения Клейна-Гордона с помощью компактификации Калуцы-Клейна.
Примечания
Литература
- C. R. Hagen , Scale and Conformal Transformations in Galilean-Covariant Field Theory, Phys. Rev. D 5, 377—388 (1972)
- Arjun Bagchi, Rajesh Gopakumar, Galilean Conformal Algebras and AdS/CFT, JHEP 0907:037,2009
- D.T.Son, Toward an AdS/cold atoms correspondence: A geometric realization of the Schrödinger symmetry, Phys. Rev. D 78, 046003 (2008)
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
См. также
