Русская Википедия:Группа кватернионов

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:GroupDiagramQ8.svg
Диаграмма циклов группы Q. Каждый цвет отражает последовательность степеней некоторого элемента. Например, красный цикл отражает тот факт, что i 2 = −1, i 3 = −i  и i 4 = 1, а также (−i )2 = −1, (−i )3 = i  и (−i )4 = 1.

В теории групп группа кватернионов — это Шаблон:Не переведено 5 группа восьмого порядка, изоморфная набору из восьми кватернионов с операцией умножения. Она часто обозначается буквой Q или Q8, и определяется заданием группы

<math>Q = \langle -1,i,j,k \mid (-1)^2 = 1, \;i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \rangle,</math>

где 1 — единичный элемент, а элемент −1 коммутирует с остальными элементами группы.

Граф Кэли

Группа Q8 имеет тот же порядок, что и диэдрическая группа Шаблон:Не переведено 5, но имеет другую структуру, что можно видеть на графах Кэли и диаграммах циклов:

Граф Кэли Граф циклов
Файл:Cayley graph Q8.svg
Q8
Красные стрелки обозначают умножение справа на i, а зелёные — умножение справа на j. 		Файл:Dih 4 Cayley Graph; generators a, b; prefix.svg
D4
Диэдрическая группа 		Файл:GroupDiagramMiniQ8.svg
Q8 		Файл:Dih4 cycle graph.svg
Dih4

Диэдрическая группа D4 получается из Шаблон:Не переведено 5 таким же образом, что и Q8 из кватернионов.

Таблица Кэли

Таблица Кэли (таблица умножения) для Q[1]:

Q×Q 1 −1 i −i j −j k −k
1 1 −1 i −i j −j k −k
−1 −1 1 −i i −j j −k k
i i −i −1 1 k −k −j j
−i −i i 1 −1 −k k j −j
j j −j −k k −1 1 i −i
−j −j j k −k 1 −1 −i i
k k −k j −j −i i −1 1
−k −k k −j j i −i 1 −1

Умножение шести мнимых единиц {±i, ±j, ±k} действует как векторное произведение единичных векторов в трёхмерном евклидовом пространстве.

<math>\begin{alignat}{2}

ij & = k, & ji & = -k, \\ jk & = i, & kj & = -i, \\ ki & = j, & ik & = -j. \end{alignat}</math>

Свойства

Группа кватернионов имеет необычное свойство гамильтоновости — любая подгруппа группы Q является нормальной подгруппой, и при этом сама группа не является абелевой.[2] Любая гамильтонова группа содержит копию группы Q.[3]

Можно построить четырёхмерное векторное пространство с базисом {1, i, j, k} и превратить его в ассоциативную алгебру с использованием приведённой выше таблицы умножения базисных векторов и продолжив операцию умножения по дистрибутивности. Полученная алгебра будет телом кватернионов. Заметим, что это не то же самое, что и групповая алгебра Q (которая имеет размерность 8). Обратно, можно начать с кватернионов и определить группу кватернионов как мультипликативную подгруппу, состоящую из восьми элементов {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}. Комплексное четырёхмерное векторное пространство с тем же базисом называется алгеброй бикватернионов.

Заметим, что i, j и k имеют порядок 4 в Q и любые два из них порождают всю группу. Другое задание группы QШаблон:Sfn, показывающее это:

<math>\langle x,y \mid x^4 = 1, x^2 = y^2, y^{-1}xy = x^{-1}\rangle.</math>

Можно, например, взять i = x, j = y и k = xy.

Центром и коммутантом группы Q является подгруппа {±1}. Факторгруппа Q/{±1} изоморфна четверной группе Клейна V. Группа внутренних автоморфизмов группы Q изоморфна факторгруппе Q по центру, и потому также изоморфна четверной группе Клейна. Полная группа автоморфизмов группы Q изоморфна S4, симметрической группе четырёх букв. Шаблон:Не переведено 5 группы Q является S4/V, которая изоморфна S3.

Матричное представление

Файл:Quaternion group; Cayley table; subgroup of SL(2,C).svg
Группа кватернионов как подгруппа SL(2,C)

Группа кватернионов может быть представлена как подгруппа полной линейной группы GL2(C). Представление

<math>Q = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\} \to \mathrm{GL}_{2}(\mathbf{C})</math>

определяется матрицамиШаблон:Sfn

<math>1 \mapsto \begin{pmatrix}
 1 & 0 \\
 0 & 1

\end{pmatrix}</math>

<math>i \mapsto \begin{pmatrix}
 i & 0 \\
 0         & -i

\end{pmatrix}</math>

<math>j \mapsto \begin{pmatrix}
 0 & 1 \\
 -1 & 0

\end{pmatrix}</math>

<math>k \mapsto \begin{pmatrix}
 0         & i \\
 i & 0

\end{pmatrix}</math>

Поскольку все из приведённых выше матриц имеют единичные определители, они задают представление группы Q в специальной линейной группе SL2(C).

Файл:Quaternion group; Cayley table; subgroup of SL(2,3).svg
Группа кватернионов как подгруппа SL(2,3)

Существует также важное действие группы Q на восьми ненулевых элементах двумерного векторного пространства над конечным полем F3. Представление

<math>Q = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\} \to \mathrm{GL}(2,3)</math>

определяется матрицами

<math>1 \mapsto \begin{pmatrix}
 1 & 0 \\
 0 & 1

\end{pmatrix}</math>

<math>i \mapsto \begin{pmatrix}
 1 & 1 \\
 1 & -1

\end{pmatrix}</math>

<math>j \mapsto \begin{pmatrix}
 -1 & 1 \\
  1 & 1

\end{pmatrix}</math>

<math>k \mapsto \begin{pmatrix}
 0 & -1 \\
 1 & 0

\end{pmatrix}</math>

где {−1,0,1} — три элемента поля F3. Поскольку определитель всех матриц над полем F3 равен единице, это является представлением группы Q в специальной линейной группе SL(2, 3). Более того, группа SL(2, 3) имеет порядок 24, а Q является нормальной подгруппой группы SL(2, 3) с индекса 3.

Группа Галуа

Как показал Ричард Дин (Richard Dean) в 1981 году, группа кватернионов может быть задана как группа Галуа Gal(T/Q), где Q является полем рациональных чисел, а T является полем разложения многочлена

<math>x^8 - 72 x^6 + 180 x^4 - 144 x^2 + 36</math>

над Q.

Доказательство использует основную теорему теории Галуа, а также две теоремы о циклических расширениях степени 4.[4]

Обобщённая группа кватернионов

Шаблон:Main

Группа называется обобщённой группой кватернионов (или дициклической группой), если она имеет задание Шаблон:Sfn

<math>\langle x,y \mid x^{2n} = y^4 = 1, x^n = y^2, y^{-1}xy = x^{-1}\rangle.</math>

для некоторого целого n ≥ 2. Эта группа обозначается как Q4n и имеет порядок 4n.[5] Коксетер обозначил эти дициклические группы как <2,2,n>, рассматривая их как частный случай Шаблон:Не переведено 5 <l,m,n>, связанной с Шаблон:Не переведено 5 (p,q,r) и диэдральной группой (2,2,n). Обычная кватернионная группа соответствует случаю n = 2. Обобщённая кватернионная группа изоморфна подгруппе группы GL2(C), порождённой элементами

<math>\left(\begin{array}{cc}
              \omega_n & 0 \\
              0 & \overline{\omega}_n
            \end{array}
         \right)

</math> и <math> 

       \left(\begin{array}{cc}
               0 & -1 \\
               1 & 0
             \end{array}
         \right)

</math>

где ωn = eiπ/nШаблон:Sfn. Она также изоморфна группе, порождённой Шаблон:Sfn кватернионами x = eiπ/n и y = j.

Шаблон:Не переведено 5 утверждает, что группы, для которых силовские 2-подгруппы являются обобщёнными кватернионами, не могут быть простыми.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Внешние ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ См. также a table таблицу Шаблон:Wayback на сайте Wolfram Alpha
  2. ↑ См. книгу Холла (1999), p. 190 Шаблон:Wayback
  3. ↑ Шаблон:Книга
  4. ↑ Dean, Richard (1981). "A Rational Polynomial whose Group is the Quaternions". The American Mathematical Monthly 88 (1): 42–45. Шаблон:JSTOR.
  5. ↑ Некоторые авторы (например, Шаблон:Harvnb, pp. 87, 351) называют эту группу дициклической группой, оставляя название обобщённая группа кватернионов для случая, когда n является степенью двойки.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Группа_кватернионов&oldid=9642807