Русская Википедия:Группа классов идеалов
Группа классов идеалов дедекиндова кольца — это, грубо говоря, группа, позволяющая сказать, насколько сильно в данном кольце нарушается свойство факториальности. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда дедекиндово кольцо является факториальным. Свойства дедекиндова кольца, касающиеся умножения его элементов, тесно связаны с устройством этой группы.
Определение
Пусть R — целостное кольцо, определим отношение <math>\sim</math> на его ненулевых дробных идеалах следующим образом: <math>I\sim J</math> тогда и только тогда, когда существуют ненулевые элементы a и b кольца R, такие что <math>(a)I = (b)J</math>, легко показать, что это задаёт отношение эквивалентности. Классы эквивалентности по этому отношению называются классами идеалов. Умножение классов, определенное как [a]*[b] = [ab] корректно определено, ассоциативно и коммутативно; главные дробные идеалы образуют класс [R], являющийся единицей для этого умножения. Класс [I] имеет обратный к нему класс [J] тогда и только тогда, когда идеал IJ главный. В общем случае такой J может не существовать и классы идеалов будут всего лишь коммутативным моноидом.
Если R к тому же является дедекиндовым кольцом (например, кольцом алгебраических чисел некоторого алгебраического числового поля), то у каждого дробного идеала I существует обратный J, такой что IJ = R = (1). Следовательно, классы дробных идеалов дедекиндова кольца с определенным выше умножением образуют абелеву группу, группу классов идеалов кольца R.
Свойства
- Группа классов идеалов тривиальна тогда и только тогда, когда все идеалы кольца R главные, то есть когда R является областью главных идеалов. При этом дедекиндово кольцо факториально тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов.
- Число классов идеалов кольцо R в общем случае может быть бесконечным; более того, любая абелева группа изоморфна группе классов некоторого дедекиндова кольца[1]. Однако если R — кольцо целых числового поля, его число классов конечно.
- Вычисление группы классов в общем случае является довольно трудным. Это можно сделать вручную для алгебраического числового поля с малым дискриминантом, используя Шаблон:Не переведено 5. Для полей с большим дискриминантом вычисление вручную становится непрактичным, и его обычно проводят при помощи компьютера.
Примеры
Число классов квадратичного поля
Если d — число, свободное от квадратов, то <math>\mathbb Q(\sqrt d)</math> является квадратичным полем. Если d < 0, группа классов тривиальна только для следующих значений: <math>d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.</math> Что касается случая d > 0, до сегодняшнего дня остаётся открытой проблемой вопрос о том, бесконечно ли число значений, которым соответствует тривиальная группа классов.
Пример нетривиальной группы классов
<math>R = \mathbb Z[\sqrt {-5}]</math> — кольцо целых числового поля <math>\mathbb Q(\sqrt {-5}).</math> Это кольцо не является факториальным; действительно, идеал
- <math>J=(2,1+\sqrt {-5})</math>
не является главным. Это можно доказать от противного следующим образом. На <math>R</math> можно определить функцию нормы <math>N(a+b\sqrt 5)=a^2+5b^2</math>, причем <math>N(ab)=N(a)N(b)</math> и <math>N(x)=1</math> тогда и только тогда, когда x обратим. Прежде всего, <math>J\neq R</math>. Факторкольцо по идеалу <math>(1+\sqrt {-5})</math> изоморфно <math>\mathbb Z/6 \mathbb Z</math>, поэтому <math>R/J\cong \mathbb Z/2 \mathbb Z</math>. Если J порожден элементом x, то x делит 2 и 1 + √−5. Следовательно, норма x делит 4 и 6, то есть равна 1 или 2. Она не может быть равна 1, так как J не равен R, и не может быть равна 2, так как <math>a^2+5b^2</math> не может иметь остаток 2 по модулю 5. Легко проверить что <math>J^2 = (2)</math> — главный идеал, поэтому порядок J в группе классов равен 2. Однако проверка того, что все идеалы принадлежат одному из этих двух классов, требует чуть больших усилий.
Примечания
Литература
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
- Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
- Шаблон:Citation
