Русская Википедия:Группа классов преобразований поверхности

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Группа классов преобразований поверхности — это группа гомеоморфизмов с точностью до непрерывной деформации. Она естественно возникает при изучении трёхмерных многообразий и связана с другими группами, в частности с группами кос и группой внешних автоморфизмов группы.

Группа классов отображений может быть определена для произвольных многообразий и для произвольных топологических пространств, но случай поверхностей является наиболее изученным в теории групп.

История

Начало изучению групп классов отображений было положено Максом Деном и Якобом Нильсеном. Ден построил конечную систему образующих этой группы,[1] а Нильсен доказал, что все автоморфизмы фундаментальных групп поверхностей инициируются гомеоморфизмами.

В середине семидесятых Уильям Тёрстон использовал эту группу при изучении трёхмерных многообразий.[2]

Позднее группа классов стала изучаться в геометрической теории групп, где она служит полигоном для различных гипотез и разработке технических инструментов.

Определение

Пусть <math>S</math> есть связная, замкнутая, ориентируемая поверхность, и <math>\mathrm{Homeo}^+(S)</math> есть группа её гомеоморфизмов, сохраняющих ориентацию, снабжённая компактно-открытой топологией.

Связная компонента единицы в <math>\mathrm{Homeo}^+(S)</math>  обозначается <math>\mathrm{Homeo}_0(S)</math>. Она состоит из гомеоморфизмов <math>\mathrm{Homeo}^+(S)</math>, изотопных тождественному гомеоморфизму. Подгруппа <math>\mathrm{Homeo}_0(S)</math>  является нормальной подгруппой <math>\mathrm{Homeo}^+(S)</math>.

Группа классов преобразований поверхности отображений <math>S</math> определяется как факторгруппа

<math> \mathrm{Mod}(S) = \mathrm{Homeo}^+(S) / \mathrm{Homeo}_0(S).</math>

Замечания

  • Если в этом определении использовать все гомеоморфизмы (не только сохраняющие ориентацию), получаем расширенную группу классов преобразований <math>\mathrm{Mod}^\pm(S)</math>, в которой группа <math> \mathrm{Mod}(S)</math> содержится как подгруппа индекса 2.
  • Это определение также может быть дано для категории диффеоморфизмов. Точнее, если слово «гомеоморфизм» заменить везде на «диффеоморфизм», мы получаем ту же группу, поскольку включение <math>\mathrm{Diff}^+(S) \subset \mathrm{Homeo}^+(S)</math> индуцирует изоморфизм соответствующими классами.
  • В случае, когда <math>S</math> — компактная поверхность с краем <math>\partial S</math>, в определении берутся только гомеоморфизмы, фиксирующие все точки на краю.
  • Для поверхностей с выколотыми точками группа определяется точно так же, как указано выше.
    • Обратите внимание, что отображению классов разрешается переставлять выколотые точки, но не компоненты края.

Примеры

  • Группа классов преобразований сферы — тривиальна.
  • Группа классов отображений тора <math>\mathbb T^2 = \mathbb R^2/\mathbb Z^2</math> естественно изоморфна модулярной группе <math>\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)</math>.
  • Группа классов отображений кольца является циклической группой, образованной одним скручиванием Дена.
  • Группа кос с n нитями естественным образом изоморфна группе классов преобразований диска n выколотыми точками.

Свойства

  • Группа классов преобразований поверхности счётная.
  • Расширенная группа классов преобразований поверхности без края изоморфна группе автоморфизмов её фундаментальной группы.
    • Более того, любой автоморфизм фундаментальной группы индуцируется некоторым гомеоморфизмом поверхности.
    • Вообще говоря, утверждение перестаёт быть верным для поверхностей с краем. В этом случае фундаментальная группа является свободной группой, и группа внешних автоморфизмов группы включает группу классов преобразований поверхности как собственную подгруппу.
  • Для компактной поверхности <math>S</math> и <math>x \in S</math> существует точная последовательность
    <math>1 \to \pi_1(S, x) \to \mathrm{Mod}(S \setminus \{x\}) \to \mathrm{Mod}(S) \to 1 .</math>
  • Любой элемент <math>\alpha</math> группы классов преобразований поверхности попадает в одну из трёх категорий:
    • <math>\alpha</math> имеет конечный порядок (то есть <math>\alpha^n=1</math> для некоторого <math>n</math>);
    • <math>\alpha</math> приводим, то есть существует набор непересекающихся замкнутых кривых на <math>S</math>, сохраняющихся под действием <math>\alpha</math>;
    • <math>\alpha</math> Шаблон:Iw.
  • Группа классов преобразований поверхности может быть порождена
    • Двумя элементами[3]
    • Инволюциями[4]
    • Существует конечное задание с скручиваниями Дена как образующими.
      • Наименьшее число скручиваний Дена, образующих группу классов преобразований поверхности рода <math>g \geqslant 2</math>, равно <math>2g + 1</math>.
  • Группа классов преобразований поверхности естественно действует на её пространстве Тейхмюллера.
    • Это действие собственно разрывное, не свободно.
    • Метрики на пространстве Тейхмюллера могут быть использованы для установления некоторых глобальных свойств группы классов преобразований. Например из этого следует, что максимальная квази-изометрически вложенная плоскость в группу классов преобразований поверхности рода <math>g</math> имеют размерность <math>3g-3 + k</math>.[5]
  • Группа классов преобразований поверхности естественно действует на Шаблон:Iw поверхности. Это действие, вместе с комбинаторно-геометрическими свойствами комплекса кривых, может быть использовано для доказательства различных свойств группы классов преобразований.
  • Первые гомологии группы классов преобразований поверхности конечны.
    • Из этого следует, что первые группы когомологий также конечны.
  • Группа классов преобразований поверхности имеет только конечное число классов сопряжённости.
  • Неизвестно, является ли группа классов преобразований поверхности линейной группой. Кроме симплектических представлений на гомологиях, известны и другие линейные представления, вытекающие из топологической квантовой теории поля. Образы этих представлений содержатся в арифметических группах, которые не являются симплектическими[6].
  • Размерность нетривиального действия группы классов преобразований поверхности рода <math>g</math> не может быть меньше <math>2\sqrt{g-1}</math>[7].

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Статья
  2. ↑ Шаблон:Статья
  3. ↑ Шаблон:Статья
  4. ↑ Шаблон:Статья Шаблон:MR
  5. ↑ Шаблон:Cite arXiv.
  6. ↑ Шаблон:Статья Шаблон:MR
  7. ↑ Шаблон:Статья Шаблон:MR
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Группа_классов_преобразований_поверхности&oldid=9642811