Русская Википедия:Группа комплексных отражений
Группа комплексных отражений — конечная группа, действующая на конечномерном комплексном векторном пространстве определённым образом.
Примеры
- Симметрическая группа
- Диэдральная группа
- группы Кокстера и в частности
- группы Вейля
- Группы симметрий правильных многогранников.
Определение
Комплексное отражение конечномерного комплексного векторного пространства V — это элемент конечного порядка, фиксирующий точки гиперплоскости.
Группа комплексных отражений — это конечная подгруппа, порожденная комплексными отражениями.
Связанные определения
- Группа комплексных отражений W называется неприводимой, если пространство не содержит собственных W-инвариантых подпространств.
- В этом случае размерность векторного пространства называется рангом W.
Классификация
Любая группа комплексных отражений представляется как произведение неприводимых групп комплексных отражений, действующая на прямой сумме соответствующих пространств. Поэтому достаточно расклассифицировать неприводимые комплексные группы отражений.
Неприводимые группы комплексных отражений включают бесконечное семейство <math>G(m,p,n)</math>, зависящее от трёх положительных целых параметров с <math>m\,\vdots\, p</math>, и 34 исключительных групп.
Группа <math>G(m,p,n)</math> имеет порядок <math>m^n\cdot n!/p</math>, является полупрямым произведением симметрической группы <math>S_n</math>, действующей перестановками на группе <math>n</math>-ок
- <math>(\theta^{a_1},\dots,\theta^{a_n}),</math>
таких, что <math>\theta</math> — примитивный корень <math>m</math>-ой степени из единицы и
- <math>a_1+\dots+a_n\equiv 0\pmod p.</math>
Группу <math>G(m,p,n)</math> можно также описать как подгруппу индекса <math>p</math> Шаблон:Iw <math>S(m,n)</math>.
Особые случаи <math>G(m,p,n)</math>:
- <math>G(1,1,n)</math> является группой Кокстера An−1
- <math>G(2,1,n)</math> является группой Кокстера Bn = Cn
- <math>G(2,2,n)</math> является группой Кокстера Dn
- <math>G(m,p,1)</math> циклическая группа порядка m/p.
- <math>G(m,m,2)</math> является группой Кокстера I2(m) (и группа Вейля G2 при m = 6).
- Группа <math>G(m,p,n)</math> действует неприводимо на <math>\mathbb{C}^n</math>, за исключением случаев <math>m=1</math>, <math>n>1</math> (симметрическая группа) и <math>G(2,2,2)</math> (Клейнова 4 группа), когда <math>\mathbb{C}^n</math> распадается на сумму неприводимых представлений размерности <math>1</math> и <math>n-1</math>.
- Две группы <math>G(m,p,n)</math> изоморфны как группы комплексных отражений, только если одна из них <math>G(m\cdot a,p\cdot a,n)</math>, а другая <math>G(m\cdot b,p\cdot b,n)</math> для некоторых положительных целых чисел <math>a</math> и <math>b</math>. Однако бывают и другие случаи, когда две такие группы изоморфны как абстрактные группы.
Таблица
Есть несколько повторений в первых 3 строках этого списка, см. предыдущий раздел.
- ШТ номер Шепарда — Тодда группы.
- Ранг размерность комплексного векторного пространства группа, на котором она действует.
- Структура описывает структуру группы. Символ «*» обозначает Шаблон:Iw двух групп. T, O и I обозначают группы вращений тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, порядки этих групп соответственно 12, 24 и 60.
- Порядок — число элементов группы.
- Отражения — число отражений: 26412 означает, что есть 6 отражений порядка 2 и 12 порядка 4.
- Степени — степени инвариантов кольца полиномиальных инвариантов. Например, инварианты группа № 4 форма кольцо полиномов с 2 образующими степеней 4 и 6.
| ШТ | Ранг | Структура | Порядок | Отражения | Степени | Костепени |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | n−1 | Симметрическая группа G(1,1,n) = Sym(n) | n! | 2n(n − 1)/2 | 2, 3, ...,n | 0,1,...,n − 2 |
| 2 | n | G(m,p,n) m > 1, n > 1, p|m (G(2,2,2) приводима) | mnn!/p | 2mn(n−1)/2,dnφ(d) (d|m/p, d > 1) | m,2m,..,(n − 1)m; mn/p | 0,m,..., (n − 1)m если p < m; 0,m,...,(n − 2)m, (n − 1)m − n если p = m |
| 3 | 1 | Циклическая группа G(m,1,1) = Zm | m | dφ(d) (d|m, d > 1) | m | 0 |
| 4 | 2 | Z2.T = 3[3]3, Файл:CDel 3node.pngФайл:CDel 3.pngФайл:CDel 3node.png | 24 | 38 | 4,6 | 0,2 |
| 5 | 2 | Z6.T = 3[4]3, Файл:CDel 3node.pngФайл:CDel 4.pngФайл:CDel 3node.png | 72 | 316 | 6,12 | 0,6 |
| 6 | 2 | Z4.T = 3[6]2, Файл:CDel 3node.pngФайл:CDel 6.pngФайл:CDel node.png | 48 | 2638 | 4,12 | 0,8 |
| 7 | 2 | Z12.T =〈3,3,3〉2, 〈3,3,2〉6 | 144 | 26316 | 12,12 | 0,12 |
| 8 | 2 | Z4.O = 4[3]4, Файл:CDel 4node.pngФайл:CDel 3.pngФайл:CDel 4node.png | 96 | 26412 | 8,12 | 0,4 |
| 9 | 2 | Z8.O = 4[6]2, Файл:CDel 4node.pngФайл:CDel 6.pngФайл:CDel node.png | 192 | 218412 | 8,24 | 0,16 |
| 10 | 2 | Z12.O = 4[4]3, Файл:CDel 4node.pngФайл:CDel 4.pngФайл:CDel 3node.png | 288 | 26316412 | 12,24 | 0,12 |
| 11 | 2 | Z24.O = 〈4,3,2〉12 | 576 | 218316412 | 24,24 | 0,24 |
| 12 | 2 | Z2.O= GL2(F3) | 48 | 212 | 6,8 | 0,10 |
| 13 | 2 | Z4.O = 〈4,3,2〉2 | 96 | 218 | 8,12 | 0,16 |
| 14 | 2 | Z6.O = 3[8]2, Файл:CDel 3node.pngФайл:CDel 8.pngФайл:CDel node.png | 144 | 212316 | 6,24 | 0,18 |
| 15 | 2 | Z12.O = 〈4,3,2〉6 | 288 | 218316 | 12,24 | 0,24 |
| 16 | 2 | Z10.I = 5[3]5, Файл:CDel 5node.pngФайл:CDel 3.pngФайл:CDel 5node.png | 600 | 548 | 20,30 | 0,10 |
| 17 | 2 | Z20.I = 5[6]2, Файл:CDel 5node.pngФайл:CDel 6.pngФайл:CDel node.png | 1200 | 230548 | 20,60 | 0,40 |
| 18 | 2 | Z30.I = 5[4]3, Файл:CDel 5node.pngФайл:CDel 4.pngФайл:CDel 3node.png | 1800 | 340548 | 30,60 | 0,30 |
| 19 | 2 | Z60.I = 〈5,3,2〉30 | 3600 | 230340548 | 60,60 | 0,60 |
| 20 | 2 | Z6.I = 3[5]3, Файл:CDel 3node.pngФайл:CDel 5.pngФайл:CDel 3node.png | 360 | 340 | 12,30 | 0,18 |
| 21 | 2 | Z12.I = 3[10]2, Файл:CDel 3node.pngФайл:CDel 10.pngФайл:CDel node.png | 720 | 230340 | 12,60 | 0,48 |
| 22 | 2 | Z4.I = 〈5,3,2〉2 | 240 | 230 | 12,20 | 0,28 |
| 23 | 3 | W(H3) = Z2 × PSL2(5), группа Коксетера [5,3], Файл:CDel node.pngФайл:CDel 5.pngФайл:CDel node.pngФайл:CDel 3.pngФайл:CDel node.png |
120 | 215 | 2,6,10 | 0,4,8 |
| 24 | 3 | W(J3(4)) = Z2 × PSL2(7), Klein [1 1 14]4, Файл:CDel node.pngФайл:CDel 4split1.pngФайл:CDel branch.pngФайл:CDel label4.png |
336 | 221 | 4,6,14 | 0,8,10 |
| 25 | 3 | W(L3) = W(P3) = 31+2.SL2(3), группа Гессе 3[3]3[3]3, Файл:CDel 3node.pngФайл:CDel 3.pngФайл:CDel 3node.pngФайл:CDel 3.pngФайл:CDel 3node.png |
648 | 324 | 6,9,12 | 0,3,6 |
| 26 | 3 | W(M3) =Z2 ×31+2.SL2(3), группа Гессе, 2[4]3[3]3, Файл:CDel node.pngФайл:CDel 4.pngФайл:CDel 3node.pngФайл:CDel 3.pngФайл:CDel 3node.png |
1296 | 29 324 | 6,12,18 | 0,6,12 |
| 27 | 3 | W(J3(5)) = Z2 ×(Z3.Alt(6)), Шаблон:Iw [1 1 15]4, Файл:CDel node.pngФайл:CDel 4split1.pngФайл:CDel branch.pngФайл:CDel label5.png |
2160 | 245 | 6,12,30 | 0,18,24 |
| 28 | 4 | W(F4) = (SL2(3)* SL2(3)).(Z2 × Z2) группа Вейля [3,4,3], Файл:CDel node.pngФайл:CDel 3.pngФайл:CDel node.pngФайл:CDel 4.pngФайл:CDel node.pngФайл:CDel 3.pngФайл:CDel node.png |
1152 | 212+12 | 2,6,8,12 | 0,4,6,10 |
| 29 | 4 | W(N4) = (Z4*21 + 4).Sym(5) [1 1 2]4, Файл:CDel node.pngФайл:CDel 4split1.pngФайл:CDel branch.pngФайл:CDel 3a.pngФайл:CDel nodea.png |
7680 | 240 | 4,8,12,20 | 0,8,12,16 |
| 30 | 4 | W(H4) = (SL2(5)*SL2(5)).Z2 группа Коксетера [5,3,3], Файл:CDel node.pngФайл:CDel 5.pngФайл:CDel node.pngФайл:CDel 3.pngФайл:CDel node.pngФайл:CDel 3.pngФайл:CDel node.png |
14400 | 260 | 2,12,20,30 | 0,10,18,28 |
| 31 | 4 | W(EN4) = W(O4) = (Z4*21 + 4).Sp4(2) | 46080 | 260 | 8,12,20,24 | 0,12,16,28 |
| 32 | 4 | W(L4) = Z3 × Sp4(3), 3[3]3[3]3[3]3, Файл:CDel 3node.pngФайл:CDel 3.pngФайл:CDel 3node.pngФайл:CDel 3.pngФайл:CDel 3node.pngФайл:CDel 3.pngФайл:CDel 3node.png |
155520 | 380 | 12,18,24,30 | 0,6,12,18 |
| 33 | 5 | W(K5) = Z2 ×Ω5(3) = Z2 × PSp4(3)= Z2 × PSU4(2) [1 2 2]3, Файл:CDel node.pngФайл:CDel 3split1.pngФайл:CDel branch.pngФайл:CDel 3ab.pngФайл:CDel nodes.png |
51840 | 245 | 4,6,10,12,18 | 0,6,8,12,14 |
| 34 | 6 | W(K6)= Z3.Ω− 6(3).Z2, Шаблон:Iw |
39191040 | 2126 | 6,12,18,24,30,42 | 0,12,18,24,30,36 |
| 35 | 6 | W(E6) = SO5(3) = O− 6(2) = PSp4(3).Z2 = PSU4(2).Z2, |
51840 | 236 | 2,5,6,8,9,12 | 0,3,4,6,7,10 |
| 36 | 7 | W(E7) = Z2 ×Sp6(2), группа Вейля [33,2,1], Файл:CDel nodea.pngФайл:CDel 3a.pngФайл:CDel nodea.pngФайл:CDel 3a.pngФайл:CDel branch.pngФайл:CDel 3a.pngФайл:CDel nodea.pngФайл:CDel 3a.pngФайл:CDel nodea.pngФайл:CDel 3a.pngФайл:CDel nodea.png |
2903040 | 263 | 2,6,8,10,12,14,18 | 0,4,6,8,10,12,16 |
| 37 | 8 | W(E8)= Z2.O+ 8(2), |
696729600 | 2120 | 2,8,12,14,18,20,24,30 | 0,6,10,12,16,18,22,28 |
Свойства
- Конечная группа, действующая на комплексном векторном пространстве, является группой комплексных отражений тогда и только тогда, когда кольцо инвариантов является полиномиальным кольцом.
- Если <math>\ell</math> — ранг группы отражений, то степени <math>d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_\ell</math> образующих кольца инвариантов называются степенями W. Они перечислены в столбце выше столбце «степени». Многие другие инварианты группы определяются степенями:
- Центр неприводимой группы отражений является циклическим и его порядок равен наибольшему общему делителю степеней.
- Порядок группы отражений равен произведению его степеней.
- Число отражений группы равно сумме степеней минус ранг.
- Степени <math>d_i</math> удовлетворяют следующему тождеству
- <math>\prod_{i=1}^\ell(q+d_i-1)= \sum_{w\in W}q^{\dim(V^w)}.</math>
- Каждая неприводимая группа комплексных отражений имеет минимальное число образующих, <math>n</math> или <math>n+1</math> отражений.
- Минимальное число образующих равно n эквивалентно тому, что <math>d_i + d^*_i = d_\ell</math> для всех <math>i</math>.
- В частности, для группы <math>G(m, p, n)</math> это выполняется только при р = 1 или m.
- Минимальное число образующих равно n эквивалентно тому, что <math>d_i + d^*_i = d_\ell</math> для всех <math>i</math>.
Ссылки
- Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Hiller, Howard Geometry of Coxeter groups. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London, 1982. iv+213 pp. ISBN 0-273-08517-4*
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Coxeter, Finite Groups Generated by Unitary Reflections, 1966, 4. The Graphical Notation, Table of n-dimensional groups generated by n Unitary Reflections. pp. 422-423
