Русская Википедия:Группа кубика Рубика
Шаблон:Main Шаблон:Универсальная карточка
Гру́ппа ку́бика Ру́бика — подгруппа симметрической группы S48, элементы которой соответствуют преобразованиям кубика Рубика. Под преобразованием подразумевается эффект поворота любой из граней или последовательности поворотов граней[1].
Определение
Каждый из поворотов граней кубика Рубика может рассматриваться как элемент симметрической группы множества 48 этикеток кубика Рубика, не являющихся центрами граней. Пометим центры граней буквами <math>\{L,F,R,B,U,D\}</math> (см. рисунок), а остальные этикетки — числами от 1 до 48. Теперь поворотам соответствующих граней на 90° по часовой стрелке можно сопоставить элементы симметрической группы <math>S_{48}</math>:
- <math>L = (1,3,8,6)(2,5,7,4)(33,9,41,32)(36,12,44,29)(38,14,46,27)</math>
- <math>F = (9,11,16,14)(10,13,15,12)(38,17,43,8)(39,20,42,5)(40,22,41,3)</math>
- <math>R = (17,19,24,22)(18,21,23,20)(48,16,40,25)(45,13,37,28)(43,11,35,30)</math>
- <math>B = (25,27,32,30)(26,29,31,28)(19,33,6,48)(21,34,4,47)(24,35,1,46)</math>
- <math>U = (33,35,40,38)(34,37,39,36)(25,17,9,1)(26,18,10,2)(27,19,11,3)</math>
- <math>D = (41,43,48,46)(42,45,47,44)(6,14,22,30)(7,15,23,31)(8,16,24,32)</math>
Тогда группа кубика Рубика <math>G</math> определяется как подгруппа <math>S_{48}</math>, порождаемая поворотами шести граней на 90°[2]:
- <math>G=\langle L,F,R,B,U,D\rangle</math>
Свойства
Порядок группы <math>G</math> равен[2][3][4][5][6]
- <math>|G| = \dfrac{8!\cdot 12!\cdot 3^8\cdot 2^{12}}{3\cdot 2\cdot 2} = 43\ 252\ 003\ 274\ 489\ 856\ 000 = 2^{27}\cdot 3^{14}\cdot 5^3\cdot 7^2\cdot 11.</math>
Пусть <math>K_f</math> — граф Кэли группы <math>G</math> с 18 образующими, которые соответствуют 18 ходам метрики FTM.
Каждая из <math>\approx 4{,}32\cdot 10^{19}</math> конфигураций может быть решена не более чем за 20 ходов FTM. Другими словами, эксцентриситет вершины графа <math>K_f</math>, соответствующей «собранному» состоянию головоломки, равен 20[7].
Диаметр графа <math>K_f</math> также равен 20[8].
Наибольший порядок элемента в <math>G</math> равен 1260. Например, последовательность ходов <math>(R\ U^2\ D^{\prime}\ B\ D^{\prime})</math> необходимо повторить 1260 раз[9], прежде чем кубик Рубика вернётся в исходное состояние[10][11].
<math>G</math> не является абелевой группой, так как, например, <math>F R\ne R F</math>. Другими словами, не все пары элементов коммутируют[12].
Подгруппы
Каждая группа, порядок которой не превышает 12, изоморфна некоторой подгруппе группы кубика Рубика. Каждая неабелева группа, порядок которой не превышает 24, также изоморфна некоторой подгруппе группы кубика Рубика. Группы <math>C_{13}</math> (циклическая группа порядка 13) и <math>D_{26}</math> (диэдральная группа порядка 26) не изоморфны никаким подгруппам группы кубика РубикаШаблон:Sfn.
Центр группы
Центр группы состоит из элементов, коммутирующих с каждым элементом группы. Центр группы кубика Рубика состоит из двух элементов: тождественное преобразование и суперфлип[5]Шаблон:Sfn.
Циклические подгруппы
В июле 1981 года Jesper C. Gerved и Torben Maack Bisgaard доказали, что группа кубика Рубика содержит элементы 73 различных порядков от 1 до Шаблон:Num1, и нашли число элементов каждого возможного порядка[13][14][15].
| Порядок элемента | Последовательность поворотов граней |
|---|---|
| 4 | <math>F</math> |
| 6 | <math>R^2 U^2</math> |
| 63 | <math>R U^{-1}</math> |
| 105 | <math>R U</math> |
| 1260 | <math>R U^2 D^{-1} B D^{-1}</math> |
Группа кубика Рубика содержит циклические подгруппы порядков
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 28, 30, 33, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 77, 80, 84, 90, 99, 105, 110, 112, 120, 126, 132, 140, 144, 154, 165, 168, 180, 198, 210, 231, 240, 252, 280, 315, 330, 336, 360, 420, 462, 495, 504, 630, 720, 840, 990, 1260.
Лишь один элемент (единичный элемент группы) имеет порядок 1; второй наиболее редкий порядок — 11 (Шаблон:Num); около Шаблон:Num всех элементов (Шаблон:Num) имеют порядок Шаблон:Num1[13][15].
В таблице приведены примеры последовательностей поворотов граней, соответствующих элементам некоторых порядков[11]Шаблон:Sfn[16].
Группа квадратов
Группа квадратов (square group, squares group) — подгруппа группы <math>G</math>, порождаемая поворотами граней на 180°[5]Шаблон:Sfn:
- <math>G_{sq}=\langle L^2,F^2,R^2,B^2,U^2,D^2\rangle</math>
Порядок группы квадратов равен Шаблон:Num[17].
Группа квадратов используется в алгоритме Тистлетуэйта, с помощью которого удалось доказать достаточность 45 ходов для сборки кубика Рубика.
Супергруппа кубика Рубика
Этикетки, находящиеся в центрах граней кубика Рубика, не перемещаются, но поворачиваются. На обычном кубике Рубика ориентация центров граней невидима.
Группа всех преобразований кубика Рубика с видимыми ориентациями центров граней называется супергруппой кубика Рубика. Она в <math>\dfrac{4^6}{2}=2048</math> раз больше группы <math>G</math>[5].
Гамильтонов цикл на графе Кэли
На графе Кэли <math>K_q</math> группы <math>G</math> с 12 образующими, которые соответствуют ходам метрики QTM, существует гамильтонов цикл. Найденный цикл использует повороты только 5 из 6 граней[18][19]Шаблон:Sfn.
Существует соответствующая гипотеза Ловаса для произвольного графа Кэли.
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокrem-transformне указан текст - ↑ 2,0 2,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокGAPне указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокkvant_1982_08не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокjaap_cube3не указан текст - ↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокjaap_theoryне указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокlawsofthecubeне указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокcube20не указан текст - ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокadvgroupне указан текст - ↑ 11,0 11,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносок21-RubiksCube-Subgroupsне указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокgeometerне указан текст - ↑ 13,0 13,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокjaap_cubic3_p34не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокrandelshofer_instructions_bigне указан текст - ↑ 15,0 15,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокrubikordне указан текст - ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокjaap_subgroupsне указан текст - ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
