Русская Википедия:Групповое кольцо

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Групповое кольцо — это кольцо, являющееся в то же время свободным модулем, которое можно построить по данному кольцу и данной группе. Неформально говоря, групповое кольцо <math>K[G]</math> — это свободный модуль над кольцом <math>K,</math> базис которого находится в биективном соответствии с элементами группы <math>G,</math> умножение базисных элементов определяется как умножение элементов группы, а на остальные элементы умножение «распространяется по линейности».

Аппарат групповых колец особенно полезен в теории представлений групп.

Определение

Пусть <math>K</math> — кольцо, а <math>G</math> — группа. Тогда групповым кольцом <math>K[G]</math> называется множество конечных формальных сумм вида <math>\alpha=\sum_{g\in G}a_g g,\quad a_g\in K</math>, которые складываются и умножаются следующим образом:

Если <math>\alpha=\sum_{g\in G}a_g g, \ \beta=\sum_{g\in G}b_g g</math>, то

<math>\alpha+\beta=\sum_{g\in G}(a_g+b_g) g</math>

<math>\alpha\cdot\beta=\sum_{g\in G}\left(\sum_{xy=g,\atop x, y\in G}a_xb_y\right)g</math>.

Свойства

• Если <math>K</math> и <math>G</math> коммутативны, то <math>K[G]</math> коммутативно.
• Если <math>K</math> — кольцо с единицей, то <math>K[G]</math> — кольцо с единицей.
• Вложение <math>G</math> в <math>K[G]</math> образует базис группового кольца.
• Если <math>H</math> — подгруппа <math>G</math>, то <math>K[H]</math> — подкольцо кольца <math>K[G]</math>.
• Пусть <math>K</math> является полем, тогда каждому элементу <math>G</math> можно сопоставить линейное преобразование векторного пространства <math>K[G]</math> — умножение на соответствующий базисный вектор слева. Это сопоставление задаёт регулярное представление группы.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга