Файл:15puzzle-chess-knight.jpgВ то время как повороты кубика Рубика составляют группу (с точки зрения теории категорий — изоморфизмы в категории с одним объектом), ходы в пятнашках можно сопоставить морфизмам соответствующего группоида (объектами являются положения головоломки), поскольку ход можно сделать не из всякого положения.
Группо́ид в теории категорий — категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами. Группоиды можно рассматривать как обобщение групп: категория, соответствующая группе <math>G</math>, имеет ровно один объект и по одной стрелке для каждого элемента <math>g</math> из <math>G</math>, композиция стрелок задаётся как умножение соответствующих элементов в группе, при этом каждая стрелка является изоморфизмом; таким образом, множество стрелок группоида можно рассматривать как некоторое множество с частично определённой бинарной операцией умножения, так что для каждого элемента существуют левый и правый обратный, а также левая и правая единица по умножению.
Группоиды естественно заменяют в теории категорий группы симметрий и возникают при классификации классов изоморфных объектов.
Любая категория, являющаяся группой, является группоидом. Для произвольной категории <math>C</math> группоидом является подкатегория <math>D \hookrightarrow C</math>, объекты которой совпадают с объектами <math>C</math>, а морфизмами являются всевозможные изоморфизмы в <math>C</math>.
Для линейно связноготопологического пространства <math>X</math> определяется его фундаментальный группоид <math>\Pi_1(X)</math> как 2-категория, объектами которой являются все точки из <math>X</math>, а стрелки из <math>x\in X</math> в <math>y\in X</math> соответствуют всевозможным (геометрическим) путям из <math>x</math> в <math>y</math>:
Две функции <math>f</math> и <math>g</math> задают один и тот же путь, если существует <math>s: [0;1] \to [0;1]</math>, так что <math>f = g \circ s</math> или <math>g = f \circ s</math>. Композиция стрелок задаётся композицией путей:
<math>fg(t) = \begin{cases} f(2t),\; 0\leqslant t \leqslant 1/2 \\ g(2t-1),\; 1/2 \leqslant t \leqslant 1 \end{cases}</math>.
2-морфизм из <math>f</math> в <math>g</math> — это гомотопия из <math>f</math> в <math>g</math>. Фундаментальный группоид является категорификациейфундаментальной группы. Его преимущество в том, что в пространстве не требуется выбор отмеченной точки, так что не возникает проблем с неканоничностью изоморфизма фундаментальных групп в разных точках или с пространствами, имеющими несколько компонент связности. Фундаментальная группа петель из точки <math>x \in X</math> возникает как группа 2-изоморфных автоморфизмов объекта <math>x\in \Pi_1(X)</math>.
Категория векторных расслоений ранга <math>n</math> над стягиваемым пространством с невырожденными отображениями естественно образует группоид; в связи с этим вводится понятие Шаблон:Iw (который является частным случаем Шаблон:Iw), представляющего собой структуру на категории пучков заданного типа. Джербы являются геометрическими объектами, классифицируемыми группами когомологий <math>H^2(X,\mathcal{G})</math>, где <math>\mathcal{G}</math> — пучок групп на <math>X</math>. Понятие особенно важно в случае неабелевых групп <math>\mathcal{G}</math>.
