Русская Википедия:Губка Менгера
Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.
Построение
Итеративный метод
Куб <math>C_0</math> с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба <math>C_0</math> удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество <math>C_1</math>, состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество <math>C_2</math>, состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность
- <math>C_0\supset C_1\supset\dots\supset C_n\supset\dots</math>,
пересечение членов которой есть губка Менгера.
Игра в хаос
Губка Менгера может быть также получена при помощи процесса, называемого Шаблон:Iw[1][2], который заключается в следующем:
- Задаются 20 точек-аттракторов: 8 вершин и 12 середин рёбер исходного куба.
- Задаётся некоторая начальная точка <math>P_0</math>, лежащая внутри куба.
- Строится последовательность точек в следующем цикле:
- Случайно выбирается аттрактор <math>A</math> из 20 возможных с равной вероятностью.
- Строится точка <math>P_i</math> с новыми координатами: <math>x_i = \frac{x_{i-1} + 2x_A}{3}; y_i = \frac{y_{i-1} + 2y_A}{3}; z_i = \frac{z_{i-1} + 2z_A}{3}</math>, где: <math>x_{i-1}, y_{i-1}, z_{i-1}</math> — координаты предыдущей точки <math>P_{i-1}</math>; <math>x_A, y_A, z_A</math> — координаты выбранного аттрактора.
Если выполнять цикл достаточно много раз (не менее 100 тысяч) и потом отбросить первые несколько десятков точек, то оставшиеся точки будут образовывать фигуру близкую к губке Менгера.
Свойства
- Губка Менгера состоит из 20 одинаковых частей, коэффициент подобия которых равен 1/3.
- Ортогональные проекции губки Менгера представляют собой ковёр Серпинского.
- Губка Менгера имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность, которая равна <math>\ln 20 / \ln 3 \approx 2{,}73</math> поскольку она состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом подобия 1/3.
- Губка Менгера имеет топологическую размерность 1, более того
- Губка Менгера топологически характеризуется как одномерный связный локально связный метризуемый компакт, не имеющий локально разбивающих точек (то есть для любой связной окрестности <math>U</math> любой точки <math>x \in M</math> множество <math>U \setminus x</math> связно) и не имеющий непустых открытых и вложимых в плоскость подмножеств.
- Губка Менгера является универсальной кривой Урысона, то есть какова бы ни была кривая Урысона <math>C</math>, в губке Менгера найдется подмножество <math>C'</math>, гомеоморфное <math>C</math>.
- Губка Менгера имеет нулевой объём, но бесконечную площадь граней.
- Объём определяется формулой 20/27 на каждую итерацию: <math>\left ( \frac{20}{27} \right )^n</math>
- Сечение губки Менгера, ограниченной кубом со стороной 1 и центром в начале координат, плоскостью <math>x + y + z = 0</math> содержит гексаграммы.
- Губка Менгера хорошо рассеивает ударные волны.[3]
См. также
Примечания
Ссылки
- Обобщённый алгоритм построения фракталов методом хаоса на ресурсе Wolfram
- Код для построения фракталов методом хаоса на языке AutoLISP
