Русская Википедия:Двадцатичетырёхъячейник
| Двадцатичетырёхъячейник | |
|---|---|
| Файл:Schlegel wireframe 24-cell.png Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) двадцатичетырёхъячейника в трёхмерное пространство | |
| Тип | Правильный четырёхмерный политоп |
| Символ Шлефли | {3,4,3} |
| Ячеек | 24 |
| Граней | 96 |
| Рёбер | 96 |
| Вершин | 24 |
| Вершинная фигура | Куб |
| Двойственный политоп | Он же (самодвойственный) |
Пра́вильный двадцатичетырёхъяче́йник, или просто двадцатичетырёхъяче́йник, или икоситетрахор (от Шаблон:Lang-grc — «двадцать», Шаблон:Lang-grc2 — «четыре» и Шаблон:Lang-grc2 — «место, пространство»), — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве.
Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов[1]. Символ Шлефли двадцатичетырёхъячейника — {3,4,3}.
Двойственен сам себе; двадцатичетырёхъячейник — единственный самодвойственный правильный политоп размерности больше 2, не являющийся симплексом. Этим обусловлена уникальность двадцатичетырёхъячейника: в отличие от пяти других правильных многоячейников, он не имеет аналога среди платоновых тел.
Описание
Ограничен 24 трёхмерными ячейками — одинаковыми октаэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности <math>120^\circ.</math>
Его 96 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.
Имеет 96 рёбер равной длины, расположенных так же, как рёбра трёх тессерактов с общим центром. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.
Имеет 24 вершины, расположенные так же, как вершины трёх шестнадцатиячейников с общим центром. В каждой вершине сходятся по 8 рёбер, по 12 граней и по 6 ячеек.
Двадцатичетырёхъячейник можно рассматривать как полностью усечённый шестнадцатиячейник.
Двадцатичетырёхъячейник можно собрать из двух равных тессерактов, разрезав один из них на 8 одинаковых кубических пирамид, основания которых — 8 ячеек тессеракта, а вершины совпадают с его центром, и затем приложив эти пирамиды к 8 кубическим ячейкам другого тессеракта. В трёхмерном пространстве аналогичным образом можно из двух равных кубов собрать ромбододекаэдр — который, однако, не является правильным.
В координатах
Первый способ расположения
Двадцатичетырёхъячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы 8 из его вершин имели координаты <math>(\pm2;0;0;0),</math> <math>(0;\pm2;0;0),</math> <math>(0;0;\pm2;0),</math> <math>(0;0;0;\pm2)</math> (эти вершины расположены так же, как вершины шестнадцатиячейника), а остальные 16 вершин — координаты <math>(\pm1;\pm1;\pm1;\pm1)</math> (они расположены так же, как вершины тессеракта; кроме того, те 8 из них, среди координат которых нечётное число отрицательных, образуют вершины другого шестнадцатиячейника, а прочие 8 — вершины третьего шестнадцатиячейника).
При этом ребром будут соединены те вершины, у которых все четыре координаты различаются на <math>1</math> — либо одна из координат различается на <math>2,</math> а остальные совпадают.
Начало координат <math>(0;0;0;0)</math> будет центром симметрии двадцатичетырёхъячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.
Второй способ расположения
Кроме того, двадцатичетырёхъячейник можно разместить так, чтобы координаты всех его 24 вершин были всевозможными перестановками чисел <math>(\pm1;\pm1;0;0)</math> (эти точки — центры 24 ячеек многоячейника, описанного в предыдущем разделе).
При этом ребром будут соединены те вершины, у которых какие-либо две координаты различаются на <math>1,</math> а другие две совпадают.
Центром многоячейника снова будет начало координат.
Ортогональные проекции на плоскость
Метрические характеристики
Если двадцатичетырёхъячейник имеет ребро длины <math>a,</math> то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как
- <math>V_4 = 2a^4 = 2{,}0000000a^4,</math>
- <math>S_3 = 8\sqrt{2}a^3 \approx 11{,}3137085a^3.</math>
Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен
- <math>R = a = 1{,}0000000a,</math>
радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- <math>\rho_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\;a \approx 0{,}8660254a,</math>
радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —
- <math>\rho_2 = \frac{\sqrt{6}}{3}\;a \approx 0{,}8164966a,</math>
радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —
- <math>r = \frac{\sqrt{2}}{2}\;a \approx 0{,}7071068a.</math>
Заполнение пространства
Двадцатичетырёхъячейниками можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений.
Примечания
Ссылки
Шаблон:Основные выпуклые правильные и однородные политопы в размерностях 2-10 Шаблон:Многогранники Шаблон:Символ Шлефли
- ↑ George Olshevsky. Icositetrachoron // Glossary for Hyperspace.
