Русская Википедия:Дважды косо отсечённый икосаэдр

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Многогранник

Два́жды ко́со отсечённый икоса́эдр[1] — один из многогранников Джонсона (J62, по Залгаллеру — М73).

Составлен из 12 граней: 10 правильных треугольников и 2 правильных пятиугольников. Каждая пятиугольная грань окружена пятиугольной и четырьмя треугольными; среди треугольных 2 грани окружены двумя пятиугольными и треугольной, 4 грани — пятиугольной и двумя треугольными, остальные 4 — тремя треугольными.

Имеет 20 рёбер одинаковой длины. 1 ребро располагается между двумя пятиугольными гранями, 8 рёбер — между пятиугольной и треугольной, остальные 11 — между двумя треугольными.

У дважды косо отсечённого икосаэдра 10 вершин. В 2 вершинах сходятся две пятиугольных грани и одна треугольная; в 6 вершинах сходятся одна пятиугольная грань и три треугольных; в остальных 2 — пять треугольных.

Дважды косо отсечённый икосаэдр можно получить из икосаэдра, отсекши от того две правильных пятиугольных пирамиды (J2), основания которых имеют общее ребро. Вершины полученного многогранника — 10 из 12 вершин икосаэдра, рёбра — 20 из 30 рёбер икосаэдра; отсюда ясно, что у дважды косо отсечённого икосаэдра тоже существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного икосаэдра.

Метрические характеристики

Если дважды косо отсечённый икосаэдр имеет ребро длины <math>a</math>, его площадь поверхности и объём выражаются как

<math>S = \frac{1}{2}\left(5\sqrt3+\sqrt{25+10\sqrt5}\right)a^2 \approx 7{,}7710818a^2,</math>
<math>V = \frac{1}{6}\left(5+2\sqrt5\right)a^3 \approx 1{,}5786893a^3.</math>

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

<math>R = \frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt5}\;a \approx 0{,}9510565a;</math>

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

<math>\rho = \frac{1}{4}\left(1+\sqrt5\right)a \approx 0{,}8090170a.</math>

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:Многогранники

  1. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 22.