Русская Википедия:Дважды косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр
Два́жды ко́со скру́ченный отсечённый ромбоикосододека́эдр[1] — один из многогранников Джонсона (J79, по Залгаллеру — М13+2М6).
Составлен из 52 граней: 15 правильных треугольников, 25 квадратов, 11 правильных пятиугольников и 1 правильного десятиугольника. Десятиугольная грань окружена пятью пятиугольными и пятью квадратными; среди пятиугольных граней 1 окружена десятиугольной и четырьмя квадратными, 4 — десятиугольной, тремя квадратными и треугольной, 2 — пятью квадратными, 2 — четырьмя квадратными и треугольной, остальные 2 — тремя квадратными и двумя треугольными; среди квадратных граней 2 окружены десятиугольной, двумя пятиугольными и квадратной, 3 — десятиугольной, двумя пятиугольными и треугольной, 1 — двумя пятиугольными и двумя квадратными, 6 — двумя пятиугольными, квадратной и треугольной, 3 — двумя пятиугольными и двумя треугольными, остальные 10 — пятиугольной, квадратной и двумя треугольными; среди треугольных граней 10 окружены пятиугольной и двумя квадратными, остальные 5 — тремя квадратными.
Имеет 105 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между десятиугольной и пятиугольной гранями, 5 рёбер — между десятиугольной и квадратной, 40 рёбер — между пятиугольной и квадратной, 10 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 10 рёбер — между двумя квадратными, остальные 35 — между квадратной и треугольной.
У дважды косо скрученного отсечённого ромбоикосододекаэдра 55 вершин. В 10 вершинах сходятся десятиугольная, пятиугольная и квадратная грани; в 45 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.
Дважды косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, выбрав в нём три части — любые три попарно не пересекающихся пятискатных купола (J5), — и повернув два из них на 36° вокруг их осей симметрии, а третий удалив. Описанная и полувписанная сферы полученного многогранника совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.
Дважды косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр — один из четырёх наименее симметричных многогранников Джонсона (наряду с J78, J82 и J87): его группа симметрии Cs состоит из тождественного преобразования и одной зеркальной симметрии.
Метрические характеристики
Если дважды косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины <math>a</math>, его площадь поверхности и объём выражаются как
- <math>S = \frac{1}{4}\left(100+15\sqrt3+\left(10+11\sqrt5\right)\sqrt{5+2\sqrt5}\right)a^2 \approx 58{,}1146508a^2,</math>
- <math>V = \frac{1}{6}\left(115+54\sqrt5\right)a^3 \approx 39{,}2912785a^3.</math>
Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
- <math>R = \frac{1}{2}\sqrt{11+4\sqrt5}\;a \approx 2{,}2329505a;</math>
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- <math>\rho = \frac{1}{2}\sqrt{10+4\sqrt5}\;a \approx 2{,}1762509a.</math>
Примечания
Ссылки
- ↑ Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 23.
