Русская Википедия:Двоичная система счисления

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Системы счисления Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.

Двоичная запись чисел

В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 510, в двоичной 1012. Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд)[1], например 0b101 или соответственно &101.

В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 1012 произносится «один ноль один».

Натуральные числа

Натуральное число, записываемое в двоичной системе счисления как <math>(a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_0)_2</math>, имеет значение:

<math>(a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_0)_2 = \sum_{k=0}^{n-1} a_k 2^k,</math>

где:

  • <math>n</math> — количество цифр (знаков) в числе,
  • <math>a_k</math> — значения цифр из множества {0,1},
  • <math>k</math> — порядковый номер цифры.

Отрицательные числа

Отрицательные двоичные числа обозначаются так же как и десятичные: знаком «−» перед числом. А именно, отрицательное целое число, записываемое в двоичной системе счисления <math>(- a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_0)_2</math>, имеет величину:

<math>(- a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_0)_2 = - \sum_{k=0}^{n-1} a_k 2^k.</math>

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде.

Дробные числа

Дробное число, записываемое в двоичной системе счисления как <math>(a_{n-1} a_{n-2} \dots a_{1} a_{0}, a_{-1} a_{-2} \dots a_{-(m-1)} a_{-m})_2</math>, имеет величину:

<math display="block">(a_{n-1} a_{n-2} \dots a_{1} a_{0}, a_{-1} a_{-2} \dots a_{-(m-1)} a_{-m})_2 = \sum_{k=-m}^{n-1} a_k 2^k,</math>

где:

  • <math>m</math> — количество цифр дробной части числа,
  • <math>a_k</math> — значения цифр из множества <math>\{0,1\}</math>.

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел

Таблица сложения

+ 0 1
0 0 1
1 1 0 (перенос 1 в старший разряд)

Таблица вычитания

- 0 1
0 0 1
1 1(заём из старшего разряда) 0

Пример сложения «столбиком» (десятичное выражение 1410 + 510 = 1910 в двоичном виде выглядит как 11102 + 1012 = 100112):

+ 1 1 1 0
1 0 1
1 0 0 1 1

Таблица умножения

× 0 1
0 0 0
1 0 1

Пример умножения «столбиком» (десятичное выражение 1410 * 510 = 7010 в двоичном виде выглядит как 11102 * 1012 = 10001102):

× 1 1 1 0
1 0 1
+ 1 1 1 0
1 1 1 0
1 0 0 0 1 1 0

Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные

Допустим, дано двоичное число 1100012. Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом: Шаблон:Начало цитаты 1 * 25 + 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 49 Шаблон:Конец цитаты То же самое чуть иначе: Шаблон:Начало цитаты 1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49 Шаблон:Конец цитаты Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 0 1
+32 +16 +0 +0 +0 +1

Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 1100012 равнозначно десятичному 4910.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные

Нужно перевести число 1011010,1012 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом: Шаблон:Начало цитаты 1 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 + 1 * 2−1 + 0 * 2−2 + 1 * 2−3 = 90,625 Шаблон:Конец цитаты То же самое чуть иначе: Шаблон:Начало цитаты 1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125 = 90,625 Шаблон:Конец цитаты Или по таблице:

64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
1 0 1 1 0 1 0 , 1 0 1
+64 +0 +16 +8 +0 +2 +0 +0.5 +0 +0.125

Преобразование методом Горнера

Шаблон:Main Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Методом Горнера обычно переводят из двоичной в десятичную систему. Обратная операция затруднительна, так как требует навыков сложения и умножения в двоичной системе счисления.

Например, двоичное число 10110112 переводится в десятичную систему так: Шаблон:Начало цитаты 0*2 + 1 = 1
1*2 + 0 = 2
2*2 + 1 = 5
5*2 + 1 = 11
11*2 + 0 = 22
22*2 + 1 = 45
45*2 + 1 = 91 Шаблон:Конец цитаты

То есть в десятичной системе это число будет записано как 91.

Перевод дробной части чисел методом Горнера

Цифры берутся из числа справа налево и делятся на основу системы счисления (2).

Например 0,11012 Шаблон:Начало цитаты (0 + 1)/2 = 0,5
(0,5 + 0)/2 = 0,25
(0,25 + 1)/2 = 0,625
(0,625 + 1)/2 = 0,8125 Шаблон:Конец цитаты Ответ: 0,11012= 0,812510

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться делением с остатком: Шаблон:Начало цитаты 19/2 = 9 с остатком 1
9/2 = 4 c остатком 1
4/2 = 2 без остатка 0
2/2 = 1 без остатка 0
1/2 = 0 с остатком 1 Шаблон:Конец цитаты Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижняя цифра (1) будет самой левой и т. д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные

Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

  • Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);
  • В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего разряда числа в двоичной системе счисления;
  • Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над дробной частью произведения.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам. Дробную часть 0,116 умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа: Шаблон:Начало цитаты 0,116 • 2 = 0,232
0,232 • 2 = 0,464
0,464 • 2 = 0,928
0,928 • 2 = 1,856
0,856 • 2 = 1,712
0,712 • 2 = 1,424
0,424 • 2 = 0,848
0,848 • 2 = 1,696
0,696 • 2 = 1,392
0,392 • 2 = 0,784
и т. д. Шаблон:Конец цитаты Таким образом 0,11610 ≈ 0,00011101102

Получим: 206,11610 ≈ 11001110,00011101102

Применения

В цифровых устройствах

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

  • Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
  • Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора,

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде. Например, число −510 может быть записано как −1012 но в 32-битном компьютере будет храниться как 111111111111111111111111111110112.

Обобщения

Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Число может быть записано в двоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.

История

  • Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы[4], так и не числовых записей в двоичной системе кодирования[5]. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных[6]. Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта, как двойная запись[7].
  • Наборы, представляющие собой комбинации двоичных цифр, использовались африканцами в традиционных гаданиях (таких как Ифа) наряду со средневековой геомантией.
  • В 1605 году Френсис Бэкон описал систему, буквы алфавита которой могут быть сведены к последовательностям двоичных цифр, которые в свою очередь могут быть закодированы как едва заметные изменения шрифта в любых случайных текстах. Важным шагом в становлении общей теории двоичного кодирования является замечание о том, что указанный метод может быть использован применительно к любым объектам[8] (см. Шифр Бэкона).
  • Современная двоичная система была полностью описана Лейбницем в XVII веке в работе Explication de l’Arithmétique Binaire[9]. В системе счисления Лейбница были использованы цифры 0 и 1, как и в современной двоичной системе. Как человек, увлекающийся китайской культурой, Лейбниц знал о книге Перемен и заметил, что гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111. Он восхищался тем, что это отображение является свидетельством крупных китайских достижений в философской математике того времени[10].
  • В 1854 году английский математик Джордж Буль опубликовал знаковую работу, описывающую алгебраические системы применительно к логике, которая в настоящее время известна как Булева алгебра или алгебра логики. Его логическому исчислению было суждено сыграть важную роль в разработке современных цифровых электронных схем.
  • В 1937 году Клод Шеннон представил к защите кандидатскую диссертацию Символический анализ релейных и переключательных схем в MIT, в которой булева алгебра и двоичная арифметика были использованы применительно к электронным реле и переключателям. На диссертации Шеннона по существу основана вся современная цифровая техника.
  • В ноябре 1937 года Джордж Штибиц, впоследствии работавший в Bell Labs, создал на базе реле компьютер «Model K» (от англ. «Kitchen», кухня, где производилась сборка), который выполнял двоичное сложение. В конце 1938 года Bell Labs развернула исследовательскую программу во главе со Штибицом. Созданный под его руководством компьютер, завершённый 8 января 1940 года, умел выполнять операции с комплексными числами. Во время демонстрации на конференции American Mathematical Society в Дартмутском колледже 11 сентября 1940 года Штибиц продемонстрировал возможность посылки команд удалённому калькулятору комплексных чисел по телефонной линии с использованием телетайпа. Это была первая попытка использования удалённой вычислительной машины посредством телефонной линии. Среди участников конференции, бывших свидетелями демонстрации, были Джон фон Нейман, Джон Мокли и Норберт Винер, впоследствии писавшие об этом в своих мемуарах.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:ВС

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Cite web
  2. ↑ Шаблон:Citation
  3. ↑ W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
  4. ↑ Шаблон:Книга
  5. ↑ Шаблон:Cite web
  6. ↑ Шаблон:Книга
  7. ↑ Шаблон:Статья
  8. ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Cite web
  9. ↑ http://www.leibniz-translations.com/binary.htm Шаблон:Wayback Leibniz Translation.com EXPLANATION OF BINARY ARITHMETIC
  10. ↑ Шаблон:Citation
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Двоичная_система_счисления&oldid=9687233