Двойная шестёрка Шлефли — это конфигурация из 30 точек и 12 прямых, предложенная ШлефлиШаблон:Sfn. Прямые конфигурации можно разделить на два подмножества по 6 прямых, при этом каждая прямая не пересекается (то есть, скрещивается) с прямыми одного множества и пересекается с каждой прямой другого [кроме себя самой]). Каждая из 12 прямых конфигурации имеет 5 точек пересечения, и каждая из этих 30 точек пересечения принадлежит ровно двум прямым, принадлежащим разным подмножествам, так что двойная шестёрка Шлефли обозначается как 125302.
Как показал Шлефли, двойную шестёрку можно построить из любых пяти прямых a1, a2, a3, a4, a5, если они пересекаются с шестой прямой b6, но в остальном находятся в общем положении (в частности, каждая из двух прямых ai и aj должны скрещиваться, и никакие из четырёх прямых ai не должны лежать на общей линейчатой поверхности). Для каждой из пяти прямых ai дополнительное множество из прямых имеет две Шаблон:Не переведено 5: b6 и bi. Пять прямых b1, b2, b3, b4 и b5, полученные таким образом, пересекаются прямой a6. Двенадцать прямых ai и bi образуют двойную шестёрку — каждая прямая ai имеет пересечение с пятью прямыми bj, для которых i ≠ j и наоборот.
Другое построение, показанное на иллюстрации, получается путём расположения двенадцати прямых, проходящих через центры шести сторон куба и лежащих на плоскости этих сторон, и каждая прямая имеет один и тот же угол с соответствующими рёбрами куба.
В общем случае кубическая поверхность содержит 27 прямых, среди которых можно найти 36 конфигураций двойных шестёрок Шлефли. Множество из 15 прямых, дополнительное двойной шестёрке, вместе с 15 касательными плоскостями, проходящими через тройки этих прямых, имеет структуру пересечений другой конфигурации, конфигурации Кремоны — Ричмонда.
Граф пересечений двенадцати прямых конфигураций двойной шестёрки — это корона с 12 вершинами, двудольный граф, в котором каждая вершина смежна с пятью из шести вершин другого цвета. Граф Леви двойной шестёрки можно получить путём замены каждого ребра короны путём из двух рёбер. Граф пересечений всех 27 прямых на кубической поверхности является дополнением графа Шлефли.
