Русская Википедия:Двойное векторное произведение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Двойно́е ве́кторное произведе́ние (другое название: тройное векторное произведение) <math> \left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right] </math> векторов <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> — векторное произведение вектора <math>\vec{a}</math> на векторное произведение векторов <math>\vec{b}</math> и <math>\vec{c}:</math>

<math>\left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\right] = \left[\vec{a}, \left[\vec{b}, \vec{c}\right]\right].</math>

В литературе этот тип произведения трёх векторов называется как тройным (по числу векторов), так и двойным (по числу операций умножения).

Свойства

Формула Лагранжа

Для двойного векторного произведения справедлива формула Лагранжа:

<math>\Big[\vec{a}, \big[\vec{b}, \vec{c}\big]\Big] = \vec{a} \times \big(\vec{b} \times \vec{c}\big) = \vec{b} \big(\vec{a} \cdot \vec{c} \big) - \vec{c} \big(\vec{a} \cdot \vec{b}\big),</math>

которую можно запомнить по мнемоническому правилу «бац минус цаб».

Тождество Якоби

Для двойного векторного произведения выполняется тождество Якоби:

<math>\big[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\big] + \big[\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}\big] + \big[\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}\big] = \vec 0,</math>

которое доказывается раскрытием скобок по формуле Лагранжа:

<math>\vec 0 = \vec{b} \big(\vec{a} \cdot \vec{c}\big) - \vec{c} \big(\vec{a} \cdot \vec{b}\big) + \vec{c} \big(\vec{b} \cdot \vec{a}\big) - \vec{a} \big(\vec{b} \cdot \vec{c}\big) + \vec{a} \big(\vec{c} \cdot \vec{b}\big) - \vec{b} \big(\vec{c} \cdot \vec{a}\big).</math>

См. также

• Смешанное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение