Русская Википедия:Двойное отношение
Двойное отношение (или сложное отношение или устаревшее ангармоническое отношение) четвёрки чисел <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> (вещественных или комплексных) определяется как
- <math> (ab,cd)=\frac{c-a}{c-b}: \frac{d-a}{d-b}. </math>
Также встречаются обозначения <math> (a, b; c, d)</math> и <math> [a, b; c, d]</math>.
Свойства
- <math> (ab,cd)(ab,de)=(ab,ce)</math>
- Двойное отношение сохраняется при дробно-линейных преобразованиях, в частности не зависит от выбора координат на прямой.
- <math> (ab,cd)=\frac{1}{(ba,cd)}=\frac{1}{(ab,dc)}=1-(ac,bd)</math>
- В частности если двойное отношение четвёрки чисел равно <math>\lambda</math>, тогда двойное отношение любой из 24 перестановок четвёрки равно одному из следующих шести значений:
- <math>\lambda, \frac{1} {\lambda}, 1-\lambda, \frac 1 {1-\lambda}, \frac{\lambda-1} {\lambda}, \frac {\lambda} {\lambda-1}</math>
Вариации и обобщения
Двойным (или сложным) отношением четвёрки точек <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math>, лежащих на одной (вещественной или комплексной) прямой, называют число
- <math> (AB,CD)=\frac{c-a}{c-b}: \frac{d-a}{d-b}, </math>
где через <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> обозначены координаты точек <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math> соответственно. Двойное отношение не зависит от выбора координаты на прямой. Часто пишут также так:
- <math> (AB,CD)=\frac{AC}{BC}: \frac{AD}{BD}, </math>
подразумевая, что через <math>AC/BC</math> (соответственно <math>AD/BD</math>) обозначено отношение направленных отрезков.
- Двойное отношение четвёрки точек на прямой сохраняется при проективных преобразованиях плоскости или пространства.
Двойным отношением четвёрки прямых <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math>, проходящих через одну точку, называют число
- <math> (ab,cd)=\pm\frac{\sin(a,c)}{\sin(b,c)}: \frac{\sin(a, d)}{\sin(b,d)},</math>
знак которого выбирается следующим образом: если один из углов, образованных прямыми <math>a</math> и <math>b</math>, не пересекается ни с одной из прямых <math>c</math> или <math>d</math> (в этом случае говорят, что пара прямых <math>a</math> и <math>b</math> не разделяет пару прямых <math>c</math> и <math>d</math>), то <math>(ab,cd)>0</math>; в противном случае <math>(ab,cd)<0</math>.
- Пусть четвёрка прямых <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> проходит через точку <math>O</math>, а прямая <math>\ell</math> не содержит <math>O</math>. Предположим прямые <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> пересекаются с <math>\ell</math> соответственно в точках <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> и <math>D</math>. Тогда
- <math>(ab,cd)=(AB,CD).</math>
См. также
Ссылки
- Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика?
- Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
- Шаль, Мишель. Об ангармонической функции четырех точек или четырех прямых // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. IX. М., 1883.
