Русская Википедия:Двойной маятник
В физике и математике, в отрасли динамических систем, двойной маятник — это маятник с другим маятником, прикреплённым к его концу. Двойной маятник является простой физической системой, которая проявляет разнообразное динамическое поведение со значительной зависимостью от начальных условий[1]. Движение маятника руководствуется связанными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для некоторых энергий его движение является хаотическим.
Анализ
Можно рассматривать несколько вариантов двойных маятников: два звена могут быть одинаковыми или иметь разную длину и вес; они могут быть простыми маятниками или физическими маятниками; движение может происходить в трёх измерениях или быть ограничено вертикальной плоскостью. В следующем анализе звенья избраны как одинаковые физические маятники длины <math>\ell</math> и массы <math>m</math>, и их движение ограничено двумя измерениями.
У физического маятника масса распределена вдоль всей его длины. Если масса распределена равномерно, тогда центр масс каждого звена совпадает с его геометрическим центром, и звено имеет такой момент инерции <math>\textstyle I=\frac{1}{12} m \ell^2</math> относительно этой точки.
Удобно использовать углы между каждым звеном и вертикалью как обобщённые координаты, определяя пространство конфигураций системы. Если положить начало координат декартовой системы координат в точке подвешивания первого маятника, тогда центр масс этого маятника находится в:
- <math>\begin{cases}
x_1 = \frac{\ell}{2} \sin \theta_1 \\ y_1 = -\frac{\ell}{2} \cos \theta_1 \end{cases}</math> и центр масс другого в
- <math>\begin{cases}
x_2 = \ell \left ( \sin \theta_1 + \frac{1}{2} \sin \theta_2 \right )\\ y_2 = -\ell \left ( \cos \theta_1 + \frac{1}{2} \cos \theta_2 \right ). \end{cases}</math>
Этой информации достаточно для того чтобы записать Лагранжиан.
Лагранжиан
Лагранжиан является разницей между кинетической энергией и потенциальной энергией:
- <math>
\begin{align}L & = \frac{1}{2} m \left ( v_1^2 + v_2^2 \right ) + \frac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \\
& = \frac{1}{2} m \left ( {\dot x_1}^2 + {\dot y_1}^2 + {\dot x_2}^2 + {\dot y_2}^2 \right ) + \frac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \end{align}
</math>
Первое слагаемое это линейная кинетическая энергия центра масс тел, второе слагаемое это вращательная кинетическая энергия центров масс каждого из стержней. Последнее слагаемое это потенциальная энергия тел в однородном гравитационном поле.
Подставив координаты и перегруппируя уравнения имеем
- <math>
L = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ {\dot \theta_2}^2 + 4 {\dot \theta_1}^2 + 3 {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ] + \frac{1}{2} m g \ell \left ( 3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 \right ). </math>
Обобщенные импульсы можно записать как
- <math>\begin{cases}
p_{\theta_1} \equiv \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_1}} = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ 8 {\dot \theta_1} + 3 {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ]\\ \\ p_{\theta_2} \equiv \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_2}} = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ 2 {\dot \theta_2} + 3 {\dot \theta_1} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ]. \end{cases}</math>
Эти выражения можно преобразовать, чтобы получить
- <math>\begin{cases}
{\dot \theta_1} = \dfrac{6}{m\ell^2} \dfrac{ 2 p_{\theta_1} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_2}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}\\ \\ {\dot \theta_2} = \dfrac{6}{m\ell^2} \dfrac{ 8 p_{\theta_2} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_1}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}. \end{cases}</math>
Уравнения движения, получаемые из уравнений Эйлера — Лагранжа, можно записать как
- <math>\begin{cases}
{\dot p_{\theta_1}} = \frac{\partial L}{\partial \theta_1} = -\frac{1}{2} m \ell^2 \left [ {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) + 3 \frac{g}{\ell} \sin \theta_1 \right ]\\ \\ {\dot p_{\theta_2}} = \frac{\partial L}{\partial \theta_2}
= -\frac{1}{2} m \ell^2 \left [ -{\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) + \frac{g}{\ell} \sin \theta_2 \right ].
\end{cases}</math>
Последние четыре уравнения являются явными формулами для временной эволюций системы с заданным текущим состоянием. Невозможно продвинуться дальше и интегрировать эти уравнения аналитически, чтобы получить формулы для θ1 и θ2 как функции от времени. Однако возможно выполнить численное интегрирование, используя метод Рунге — Кутты или подобную технику.
Примечания
- ↑ Levien RB and Tan SM. Double Pendulum : An experiment in chaos.American Journal of Physics 1993; 61 (11) : 1038
