Русская Википедия:Двойной ряд
Двойной ряд — числовая последовательность, элементы которой занумерованы парами целых положительных чисел (индексов), рассматриваемая совместно с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм рядаШаблон:Sfn.
Определение
Пусть <math>\{a_{i, j}\}_{i=1, j=1}^{\infty}</math> — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность частичных сумм ряда
- <math>\{s_{k, l}\}_{k=1, l=1}^{\infty},</math>
каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности
- <math>\{s_{k, l}\} = \sum_{i=1, j=1}^{i=k, j=l} a_{i, j}</math>
Вообще, для обозначения ряда используется символ:
- <math>\sum_{i=1, j=1}^{\infty}a_{i, j},</math>
поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.
В соответствии с этим говорится о сходимости числового двойного ряда:
- числовой двойной ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм, то есть ряд <math>\{a_{i, j}\}</math> сходится и имеет сумму <math>s</math>, если, каково бы ни было <math>\varepsilon > 0</math>, найдутся такие числа <math>m_{0}</math> и <math>n_{0}</math>, что при <math>m > m_{0}</math> и <math>n > n_{0}</math> выполняется неравенство <math>\| s_{mn}- s \| < \varepsilon</math>. Также условие сходимости двойного ряда к сумме <math>s</math> можно записать в виде
<math>\lim_{ n,m \to \infty } s_{mn} = s</math>.
- числовой двойной ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм;
- числовой двойной ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.
Если числовой ряд сходится, то предел <math>S</math> последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:
- <math>S=\sum_{i=1, j=1}^{\infty}a_{i, j}</math>
Свойства
- Пусть в сходящемся двойном ряде <math>\{a_{m, n}\}_{m, n=1}^{\infty}</math> с суммой <math>s</math> сходятся все строки, а также пусть сходится ряд, составленный из их сумм, то есть пусть существуют пределы в равенствах <math>s_{i*}=\lim_{n \to \infty}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}</math> и <math>s'=\lim_{m \to \infty}\sum_{i=1}^{m}s_{i*}</math>. Тогда <math>s=s'</math>. Аналогично, если существуют пределы <math>s_{*j}=\lim_{m \to \infty}\sum_{i=1}^{m}a_{ij}</math> и <math>s=\lim_{n \to \infty}\sum_{j=1}^{n}s_{*j}</math>. Тогда <math>s=s</math>Шаблон:Sfn.
- Теорема Маркова. Пусть в двойном ряде <math>\{a_{i, j}\}</math> сходятся все строки <math>s_{m*}=\sum_{n=1}^{\infty}a_{mn}</math> и все столбцы <math>s_{*n}=\sum_{m=1}^{\infty}a_{mn}</math>. Обозначим сумму строк <math>s'=\sum_{m=1}^{\infty}a_{m*}</math>.
Тогда:
- <math>k</math> - е остатки строк <math>r_{m}^{(k)}=\sum_{n=k+1}^{\infty}a_{mn}</math> образуют сходящийся ряд <math>\sum_{m=1}^{\infty}r_{m}^{(k)}</math> с некоторой суммой <math>R_{k}</math>.
- Для того, чтобы сходился ряд, составленный из сумм столбцов <math>s=\sum_{n=1}^{\infty}s_{*n}</math> необходимо и достаточно существование предела <math>\lim_{k \to \infty}R_{k}=R</math>.
- Для равенства <math>s'=s</math> необходимо и достаточно, чтобы было <math>R=0</math>Шаблон:Sfn.
Примечания
Литература
