Русская Википедия:Двойственная категория

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Двойственная категория (дуальная категория) — категория, построенная из заданной согласно теоретико-категорному принципу двойственности, то есть, для категории <math>\mathcal C</math> двойственной является категория <math>\mathcal C^{op}</math> с теми же объектами, что и <math>\mathcal C</math> и с множествами морфизмов <math>\text{Hom}_{\mathcal{C}^{op}}(A,B) = \text{Hom}_{\mathcal{C}}(B,A)</math> («обращение стрелок»). Композиция морфизмов в <math>f</math> и <math>g</math> в категории <math>\mathcal C^{op}</math> определяется как композиция <math>g</math> и <math>f</math> в <math>\mathcal C</math>. Понятия и утверждения, относящиеся к категории <math>\mathcal C</math>, заменяются двойственными понятиями и утверждениями в <math>\mathcal C^{op}</math>. Применение двойственности дважды переводит категорию в себя.

Примеры

• Категория булевых алгебр эквивалентна двойственной категории пространств Стоуна и непрерывных функций.
• Категория аффинных схем эквивалентна двойственной категории коммутативных колец.
• Двойственность Понтрягина можно ограничить на эквивалентность категории компактных хаусдорфовых абелевых топологических групп и двойственной категории (дискретных) абелевых групп.
• Согласно теореме Гельфанда — Ноймарка категория локально измеримых пространств (и измеримых функций) эквивалентна двойственной категории коммутативных алгебр фон Неймана.

Свойства

• <math>(\mathcal C \times \mathcal D)^{op} \cong \mathcal C^{op}\times \mathcal D^{op}</math> (см. категория произведения)
• <math>(Funct(\mathcal C, \mathcal D))^{op} \cong Funct(\mathcal C^{op}, \mathcal D^{op})</math> (см. категория функторов)
• <math>(F\downarrow G)^{op} \cong (G^{op}\downarrow F^{op})</math> (см. категория запятой)

Литература

• Книга:Категории для работающего математика