Русская Википедия:Двойственное пространство
Двойственное пространство (иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.
Определение
Множество всех непрерывных линейных функционалов, определённых на топологическом векторном пространстве <math>E</math>, также образует векторное пространство. Это пространство называется сопряжённым к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^*</math>. Множество всех линейных функционалов на <math>E</math>, не обязательно непрерывных, называется алгебраически сопряжённым к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^{\#}</math> [1].
В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда векторное пространство <math>E</math> конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство <math>E^* = E^{\#}</math> состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на <math>E</math>. В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда <math>E</math> бесконечномерное, вообще говоря, <math>E^* \neq E^{\#} </math>[1].
В тензорном исчислении применяется обозначение <math>x^k</math> для элементов <math>E</math> (верхний, или контравариантный, индекс) и <math>x_k</math> для элементов <math>E^*</math> (нижний, или ковариантный, индекс).
Двойственные отображения
Двойственное отображение — линейное отображение между векторными пространствами, двойственными к данным, индуцированное отображением между самими пространствами.
Пусть <math>V, W</math> — векторные пространства, а <math>V^*, W^* </math> — двойственные векторные пространства. Для любого линейного отображения <math>f : V \to W</math> двойственное отображение <math>f^*: W^* \to V^*</math> (в обратном порядке) определяется как
- <math>f^*(\varphi) = \varphi \circ f \,</math>
для любого <math>\varphi \in W^*</math>.
Свойства
Конечномерные пространства[2]
- Сопряжённое пространство <math>E^*</math> имеет ту же размерность, что и пространство <math>E</math> над полем <math>F</math>. Следовательно, пространства <math>E</math> и <math>E^{*}</math> изоморфны.
- Каждому базису <math>e^1, \ldots, e^n</math> пространства <math>E</math> можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис <math>e_1, \ldots, e_n</math> пространства <math>E^*</math>, где функционал <math>e_i</math> — проектор на вектор <math>e^i</math>:
- <math>e_i(x) = e_i(\alpha_1e^1 + \ldots + \alpha_ne^n) = \alpha_i, \quad\forall x\in E.</math>
- Если пространство <math>E</math> евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между <math>E</math> и <math>E^*</math> существует так называемый канонический изоморфизм (то есть изоморфизм, не зависящий от выбранных базисов), определённый соотношением
- <math>v \in E \mapsto f \in E^*, \quad f(x) = \langle x, v \rangle, \ \forall x\in E.</math>
- Второе сопряжённое пространство <math>E^{**}</math> изоморфно <math>E</math>. Более того, существует канонический изоморфизм между <math>E</math> и <math>E^{**}</math> (при этом не предполагается, что пространство <math>E</math> евклидово), определённый соотношением
- <math>x \in E \mapsto z \in E^{**}, \quad z(f) = f(x), \ \forall f\in E^*.</math>
- Определенный выше канонический изоморфизм <math>E \to E^{**}</math> показывает, что пространства <math>E</math> и <math>E^{*}</math> играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для <math>x\in E, \ f\in E^*</math> часто пишут <math>f(x)= (x, f)</math> подобно записи скалярного произведения.
Бесконечномерные пространства
- Если векторное пространство <math>E</math> нормированное, то сопряжённое пространство <math>E^*</math> имеет естественную норму — это операторная норма непрерывных функционалов. Пространство <math>E^*</math> — банахово[3][1].
- Если пространство <math>E</math> гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между <math>E</math> и <math>E^*</math>, причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства <math>E</math>[4].
- Сопряжённым к пространству <math>L^p</math>, <math>1 < p < \infty</math>, является пространство <math>L^q</math>, где <math>1/p+1/q=1</math>. Аналогично, сопряжённым к <math>l^p</math>, <math>1 < p < \infty</math>, является <math>l^q</math> с тем же соотношением между p и q.
Вариации и обобщения
- Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для векторных пространств над полем комплексных чисел: пространство <math>\bar E</math>, совпадающее с <math>E</math> как вещественное векторное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:
- <math>{\bar c} {\bar x} = \overline{cx}</math>
- При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.
- ↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, § 7. — М.: Физматлит, 2009.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2-ое изд. М.: Наука, 1965, стр. 147.
- ↑ Халмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.
