Русская Википедия:Дедекиндово сечение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Дедеки́ндово сече́ние — один из способов построения вещественных чисел из рациональныхШаблон:Sfn.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

История

Метод был введён в 1872 году Рихардом Дедекиндом.

Аналогичное построение для геометрических величин неявно присутствует в «Началах» Евклида, а именно, в книге V определение 5 звучит следующим образом:

Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, одновременно равны или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответствующем порядке (9, 10, 11, 12)..

Близкие идеи опубликовал в 1849 году французский математик Жозеф Бертран.

Определение

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> на два подмножества <math>A</math> (нижнее, или левое) и <math>B</math> (верхнее, или правое) такие, чтоШаблон:Sfn:

1. <math>a<b</math> для любых <math>a\in A</math> и <math>b\in B</math>,
2. <math>B</math> не имеет наименьшего элемента.

Далее дедекиндово сечение обозначается <math>(A, B)</math> (хотя было бы достаточно указать одно из этих множеств, второе дополняет его до <math>\mathbb Q</math>).

Если множество <math>A</math> имеет наибольший элемент, то дедекиндово сечение можно отождествить с этим рациональным числом. В противном случае сечение определяет иррациональное число, которое больше всех чисел множества <math>A</math> и меньше всех чисел множества <math>B</math>. Определив на полученном множестве сечений арифметические операции и порядок, мы получаем поле вещественных чисел, причём каждое сечение определяет одно и только одно вещественное число.

Пример

Файл:Dedekind cut- square root of two.png

Дедекиндово сечение √2

Вещественному числу <math>\sqrt 2</math> соответствует дедекиндово сечение, для которогоШаблон:Sfn:

множество <math>A=\{x \in\mathbb Q\mid x<0 \lor x^2<2\}.</math>

множество <math>B=\{x \in\mathbb Q\mid x>0 \land x^2>2\};</math>

Интуитивно можно представить себе, что для того, чтобы определить <math>\sqrt 2</math>, мы рассекли множество на две части: все числа, что левее <math>\sqrt 2</math>, и все числа, что правее <math>\sqrt 2</math>; соответственно, <math>\sqrt 2</math> равен точной нижней грани множества <math>B</math>.

Упорядоченность дедекиндовых сечений

Введём во множестве сечений порядок. Сначала определим, что два сечения <math>(A, B)</math> и <math>(C, D)</math> равны, если <math>A=C</math> (тогда и <math>B=D</math>). Далее определимШаблон:Sfn:

<math>(A, B) < (C, D)</math>, если <math>A \subset C</math> и при этом <math>A \ne C.</math>

Нетрудно проверить, что все требования линейного порядка выполнены. Кроме того, для рациональных чисел новый порядок совпадает со старым.

Из данного определения порядка следует:

Теорема о приближении. Любое вещественное число может быть с любой точностью приближено рациональными числами, то есть может быть заключено в интервал с рациональными границами произвольно малой длиныШаблон:Sfn.

Арифметика дедекиндовых сечений

Для определения арифметических действий с сечениями можно воспользоваться сформулированной в предыдущем разделе теоремой о приближении.

Пусть <math>\alpha, \beta</math> — вещественные числа. Согласно теореме о приближении, для них можно указать интервалы-приближения с рациональными границами:

<math>a_1<\alpha<a_2\quad b_1<\beta<b_2.</math>

Тогда суммой <math>\alpha + \beta</math> называетсяШаблон:Sfn вещественное число, содержащееся во всех интервалах вида <math>(a_1+b_1, a_2+b_2).</math> Сумма вещественных чисел всегда существует, однозначно определена и для рациональных чисел совпадает с прежним определением суммы. Вычитание всегда возможно, поэтому относительно так определённой операции сложения вещественные числа образуют аддитивную группу.

Аналогично определяется умножение вещественных чисел, которое вместе со сложением превращает множество вещественных чисел в упорядоченное полеШаблон:Sfn.

Вариации и обобщения

См. также: Шаблон:Iw

Дедекиндовы сечения можно аналогично определить не только для рациональных чисел, но и в любом другом линейно упорядоченном множестве. См. Шаблон:Iw. Можно показать, что применение этой процедуры к множеству вещественных чисел <math>\mathbb R</math> даёт снова <math>\mathbb R.</math>

Аналог дедекиндовых сечений используется для построения сюрреальных чисел.

См. также

• Конструктивные способы определения вещественного числа

Литература

• Книга:Математическая энциклопедия
• Шаблон:Книга