Русская Википедия:Действие группы
Действие группы на некотором множестве — это гомоморфное сопоставление каждому элементу группы некоторого преобразования этого множества. В случае, когда множество наделено некоторой дополнительной структурой, предполагается, что преобразования сохраняют эту структуру. Действия групп позволяют изучать симметрии математических объектов с помощью аппарата теории групп.
Если группа действует на некотором объекте или структуре, она обычно действует и на связанных с ними объектах. Так, группа движений евклидова пространства действует как на этом пространстве, так и на фигурах, изображенных в нём. Например, она действует на множестве всех треугольников. Кроме того, группа симметрий некоторого многогранника действует на множествах его вершин, рёбер и граней.
В случае действий на топологических пространствах все отображения предполагаются гомеоморфизмами. Такие действия часто называются непрерывными.
Действия групп на векторных пространствах называются их линейными представлениями. В случае конечномерных векторных пространств они позволяют отождествить многие группы с подгруппами полной линейной группы <math>{\rm GL}_n(K)</math>, то есть группы обратимых матриц размера <math>n\times n</math> над некоторым полем <math>K</math>.
Определения
Действие слева
Говорят, что группа <math>G</math> действует слева на множестве <math>M</math>, если задан гомоморфизм <math>\Phi\colon G\to S(M)</math> из группы <math>G</math> в симметрическую группу <math>S(M)</math> множества <math>M</math>. Для краткости <math>(\Phi(g))(m)</math> часто записывают как <math>g(m)</math>, <math>g\cdot m</math>, <math>g{.}m</math> или <math>gm</math>. Элементы группы <math>G</math> называются в этом случае преобразованиями, а сама группа <math>G</math> — группой преобразований множества <math>M</math>. Тот факт, что сопоставление <math>\Phi</math> является гомоморфизмом, означает то, что произведению элементов в группе соответствует композиция преобразований, а нейтральному элементу группы соответствует тождественное преобразование.
Другими словами, группа <math>(G, \ast)</math> действует слева на множестве <math>M</math>, если задано такое отображение <math>G\times M\to M</math>, при котором образ пары <math>(g,m)</math> обозначается <math>g(m)</math>, что:
- <math>(g\ast h)(m)=g(h(m))</math> для всех <math>g,h\in G</math> и <math>m\in M</math>;
- <math>e(m)=m</math>, где <math>e</math> — нейтральный элемент группы <math>G</math>.
Действие справа
Аналогично, правое действие группы <math>G</math> на <math>M</math> задаётся таким отображением <math>M\times G\to M</math>, при котором образ пары <math>(m,g)</math> обозначается <math>(m)g</math>, что:
- <math>(m)(g\ast h)=((m)g)h</math>;
- <math>(m)e=m</math>.
Другими словами, правое действие группы <math>G</math> на <math>M</math> задаётся гомоморфизмом <math>\rho: G^{op} \to S(M)</math>, где <math>G^{op}</math> — инверсная группа группы <math>G</math>. Или, что то же самое, левым действием группы <math>G^{op}</math> на <math>M</math>.
Разница между левыми и правыми действиями состоит в порядке, в котором произведение <math>gh</math> действует на данном элементе. В левом действии сначала действует <math>h</math>, затем <math>g</math>. А в правом действии сначала действует <math>g</math>, затем <math>h</math>.
Благодаря формуле <math>(gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1}</math>, отображение <math>g \mapsto g^{-1}</math> осуществляет изоморфизм между инверсной группой и исходной, который позволяет, путём взятия композиции с ним, построить взаимно однозначное соответствие между левыми и правыми действиями группы.
Таким образом, для установления общих свойств действий групп достаточно рассматривать только левые действия.
Типы действий
- Свободное, если для любых различных <math>g,\;h\in G</math> и любого <math>m\in M</math> выполняется <math>gm\ne hm</math>.
- Транзитивное, если для любых <math>m,\;n\in M</math> существует <math>g\in G</math> такой, что <math>gm=n</math>. Другими словами, действие транзитивно, если <math>Gm=M</math> для любого элемента <math>m\in M</math>.
- Примитивное действие транзитивно и не сохраняет нетривиальных подможеств <math>M</math>.
- Эффективное, если для любых двух элементов <math>g\ne h</math> в <math>G</math> существует <math>m\in M</math> такой, что <math>gm\ne hm</math>.
- Вполне разрывное, если для любого компактного множества <math>K</math> множество всех <math> g \in G</math>, для которых пересечение <math>K \cap gK</math> непусто, конечно.
На топологических пространствах и гладких многообразиях также особо рассматривают действия групп, наделённых соответствующими дополнительными структурами: топологических групп и групп Ли. Действие <math>\rho: G \to \mathrm{X}</math> топологической группы на топологическом пространстве называют непрерывным, если оно непрерывно как отображение между топологическими пространствами. Аналогично определяется гладкое действие группы Ли на гладком многообразии.
- Непрерывное действие группы на пространстве жёстко (или квазианалитично), если из того, что некоторый элемент группы действует как тождественное отображение на некотором открытом подмножестве пространства, следует, что это единичный элемент группы.
- Любое эффективное непрерывное действие изометриями на связном римановом многообразии обязательно жёстко, чего нельзя сказать об общих метрических пространствах. Например, действие циклической группы порядка 2 перестановкой двух рёбер на графе, образованном тремя рёбрами, выходящими из одной точки, является эффективным, но не жёстким.
- Непрерывное действие группы называется кокомпактным, если факторпространство по этому действию компактен.
Орбиты
Подмножество
- <math>Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M</math>
называется орбитой элемента <math>m\in M</math> (иногда обозначается как <math>\mathrm{Orb}(m)</math>).
Действие группы <math>G</math> на множестве <math>M</math> определяет на нём отношение эквивалентности
- <math>\forall n,\;m\in M\;(n\,\sim_{_G} \,m)\Longleftrightarrow(\exists g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow(Gn=Gm).</math>
При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому если общее число классов эквивалентности равно <math>k</math>, то
- <math>M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k,</math>
где <math>m_1,\;m_2,\;\ldots,\;m_k\in M</math> попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия <math>k=1</math>.
Стабилизаторы
Подмножество
- <math>G_m=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G</math>
является подгруппой группы <math>G</math> и называется стабилизатором, или стационарной подгруппой элемента <math>m\in M</math> (иногда обозначается как <math>\mathrm{Stab}(m)</math>).
Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если <math>n\,\sim_{_G}\,m</math>, то найдется такой элемент <math>g\in G</math>, что
- <math>G_m=gG_ng^{-1}.</math>
Количество элементов в орбите
- <math>|Gm|=[G:G_m]</math>, <math>G_m</math> — стабилизатор элемента <math>m</math> и <math>[G:G_m]</math> — индекс подгруппы <math>G_m\subset G</math>, в случае конечных групп равен <math>\frac{|G|}{|G_m|}</math>.
- Размерность орбиты можно вычислить так:
- <math>\dim |Gm| = \dim |G| - \dim |G_m|</math>, где
<math>\dim|Gm|</math> размерность отдельной орбиты,
- <math>\dim|G_m|</math> размерность стабилизатора, <math>\dim|G|</math> размерность группы Ли.
Если <math>M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k</math>, то
- <math>|M|=\sum_{t=1}^k[G:G_{m_t}]</math> — формула разложения на орбиты.
Эта формула также влечёт следующие тождества:
- <math>\forall m\in M\;\sum_{n\in Gm}|G_n|=|G|;</math>
- <math>\sum_{m\in M}|G_m|=k|G|;</math>
- лемму Бёрнсайда.
Примеры действий
Действия на себе
Слева
Действие на себе слева является наиболее простым примером действия. В этом случае <math>M=G</math>, и гомоморфизм <math>\Phi:G\to S(G)</math> задан как <math>(\Phi(g))(h)=gh</math>.
Справа
Аналогично определяется действие на себе справа: <math>(\Phi(g))(h)=hg^{-1}</math>.
Слева и справа
Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения <math>G\times G</math> на <math>M=G</math> с гомоморфизмом <math>\Phi:G\times G\to S(G)</math>, заданным как <math>(\Phi(g_1,\;g_2))(h)=g_1hg_2^{-1}</math>.
Сопряжениями
Пусть <math>M=G</math>, и гомоморфизм <math>\Phi:G\to S(G)</math> задан как <math>(\Phi(g))(h)=ghg^{-1}</math>. При этом для каждого элемента <math>h\in G</math> стабилизатор <math>G_h</math> совпадает с централизатором <math>C(h)</math>:
- <math>G_h=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).</math>
Например, для элемента <math>h</math> из центра группы <math>G</math> (то есть <math>h\in Z(G)</math>) имеем <math>C(h)=G</math> и <math>G_h=G</math>.
Вариации и обобщения
См. также
Литература
