Русская Википедия:Делимая группа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Делимая группа — это группа <math>G</math>, такая что для любых <math>n\in\mathbb N</math> и <math>g\in G</math> уравнение

<math>x^n=g</math>

разрешимо. Часто группа предполагается абелевой, а условие записывается в аддитивной нотации как <math>nx=g</math>.

Группа <math>A</math> называется <math>p</math>-делимой (<math>p</math> — простое число), если для любого <math>a\in A</math> разрешимо в <math>A</math> уравнение <math>px=a</math>.

Некоммутативные делимые группы иногда называются полными (не путать с полными группами, которые изоморфны своей группе автоморфизмов).

Примеры

• Группа <math>(\mathbb Q,+)</math> всех рациональных чисел;
• <math>p</math>-примарная квазициклическая группа <math>(\mathbb{Z}_{p^\infty},+)</math>, то есть группа, порожденная счетным набором элементов <math>a_0,\,a_1,\,\ldots,\,a_n,\,\ldots</math>, удовлетворяющих условию

<math>pa_0=0,\,pa_1=a_0,\,\ldots,\,pa_n=a_{n-1},\,\ldots</math>

Свойства делимых групп

• Гомоморфный образ делимой абелевой группы является делимой группой.
• Абелева группа является делимой тогда и только тогда, когда она <math>p</math>-делима при каждом простом <math>p</math>.
• Каждая делимая подгруппа выделяется прямым слагаемым.
  • Следовательно, делимые абелевы группы являются инъективными объектами в категории абелевых групп (<math>\mathbb Z</math>-модулей). Это же утверждение верно и в категории модулей над любой областью главных идеалов.
• Любая абелева группа <math>A</math> разлагается в прямую сумму <math>A=D\oplus R</math>, где <math>D</math> — делимая группа (она называется делимой частью группы <math>A</math>), а <math>R</math> — редуцированная группа, то есть группа, не содержащая ненулевых делимых подгрупп.

Строение делимых групп

Если <math>A</math> — произвольная делимая абелева группа, то

<math>A\cong\bigoplus\limits_{r_0(A)}\mathbb Q\oplus\bigoplus\limits_{p\in P}\bigoplus\limits_{r_p(A)}\mathbb{Z}_{p^\infty}</math>.

Связанные определения

Если в полной группе указанные в определении уравнения разрешимы однозначно, она называется D-группой. Таковы, в частности, локально нильпотентные полные группы без кручения.

Литература

• Л. Фукс Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1974, 1977.
• А. Г. Курош Теория групп. — М.: Физматлит, 2011. — ISBN 978-5-9221-1349-6.