Русская Википедия:Делитель нуля
В общей алгебре элемент <math>a</math> кольца называетсяШаблон:Sfn:
- левым делителем нуля, если существует ненулевое <math>b</math> такое, что <math>ab = 0;</math>
- правым делителем нуля, если существует ненулевое <math>b</math> такое, что <math>ba = 0.</math>
Далее всюду в данной статье кольцо считается нетривиальным, то есть в нём имеются элементы, отличные от нуля.
Элемент, который одновременно является и правым, и левым делителем нуля, называется делителем нуля. Если умножение в кольце коммутативно, то понятия правого и левого делителя совпадают. Элемент кольца, который не является ни правым, ни левым делителем нуля, называется регулярным элементомШаблон:Sfn.
Ноль кольца называется несобственным (или тривиальным) делителем нуля. Соответственно, элементы, отличные от нуля и являющиеся делителями нуля, называются собственными (нетривиальными) делителями нуля.
Коммутативное кольцо с единицей, в котором нет нетривиальных делителей нуля, называется областью целостностиШаблон:Sfn.
Свойства
Если <math>a</math> не является левым делителем нуля, то равенство <math>ab=ac</math> можно сократить на <math>a;</math> аналогично с правым делителем нуля. В частности, в области целостности сокращение на ненулевой множитель всегда возможно[1].
Множество регулярных элементов коммутативного кольца замкнуто относительно умножения.
Обратимые элементы кольца не могут быть делителями нуля[2]. Обратимые элементы кольца часто называют «делителями единицы», поэтому предыдущее утверждение можно сформулировать иначе: делитель единицы не может быть одновременно делителем нуля. Отсюда следует, что ни в каком теле или поле делителей нуля быть не можетШаблон:Sfn.
В коммутативном конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент либо обратим, либо является делителем нуля. Следствие: нетривиальное коммутативное конечное кольцо без делителей нуля является полем (существование в кольце единицы может быть строго доказано).
Линейно упорядоченное кольцо со строгим порядком (то есть если произведение положительных элементов положительно) не содержит делителей нуляШаблон:Sfn, см. также ниже пример упорядоченного кольца с делителями нуля.
Нильпотентный элемент кольца всегда является (и левым, и правым) делителем нуля. Идемпотентный элемент кольца <math>c</math>, отличный от единицы, также является делителем нуля, поскольку <math>c(1-c)=0.</math>
Примеры
Кольцо целых чисел не содержит нетривиальных делителей нуля и является областью целостности.
В кольце вычетов <math>\mathbb Z_m</math> по модулю <math>m,</math> если k не взаимно просто с m, то вычет k является делителем нуля. Например, в кольце <math>\mathbb Z_6</math> элементы 2, 3, 4 — делители нуля:
- <math>2_6 \cdot 3_6 = 0;\ 4_6 \cdot 3_6 = 0</math>
В кольце матриц порядка 2 или более также имеются делители нуля, например:
- <math>\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}</math>
Поскольку определитель произведения равен произведению определителей сомножителей, произведение матриц будет нулевой матрицей только если определитель по крайней мере одного из сомножителей равен нулю. Несмотря на некоммутативность умножения матриц, понятия левого и правого делителей нуля в этом кольце совпадают; все делители нуля — это вырожденные матрицы с нулевым определителем.
Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы)[3][4].
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Переиздание: СПб,: Лань, 2004, ISBN 5-8114-0552-9, 624 с.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
Ссылки
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокWarden52не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокZS19не указан текст - ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
