Русская Википедия:Дельтаэдры

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Icosahedron.jpg

Наибольший строго выпуклый дельтаэдр является правильным икосаэдром

Файл:Triangulated truncated tetrahedron.png

Усечённый тетраэдр с шестиугольниками, разбитыми на треугольники. Это тело не является строго выпуклым дельтаэдром, поскольку находящиеся в одной плоскости грани недопустимы по определению.

Дельтаэдр — это многогранник, все грани которого являются правильными треугольниками. Название взято от греческой заглавной буквы дельта (<math>\Delta</math>), которая имеет форму равностороннего треугольника. Существует бесконечно много дельтаэдров, но из них только восемь выпуклы, и они имеют 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 и 20 гранейШаблон:Sfn.

Число граней, рёбер и вершин перечислены ниже для каждого из восьми дельтаэдров.

Выпуклые дельтаэдры

Всего существует 8 выпуклых дельтаэдров, 3 из которых являются платоновыми телами, а 5 — многогранниками Джонсона.

У дельтаэдра с 6 гранями некоторые вершины имеют степень 3, а некоторые — степень 4. В дельтаэдрах с 10, 12, 14 и 16 гранями некоторые вершины имеют степень 4, а некоторые — степень 5. Эти пять неправильных дельтаэдров принадлежат классу правильногранных многогранников — выпуклых многогранников с правильными многоугольниками в качестве граней.

Не существует выпуклого дельтаэдра с 18 гранямиШаблон:Sfn. Однако Шаблон:Не переведено 5 даёт пример октаэдра, который либо может быть сделан выпуклым с 18 неправильными гранями, либо с двумя наборами по три равносторонних треугольника, лежащими в одной плоскости.

Правильные дельтаэдры
Название	Изображение	Количество вершин	Количество рёбер	Количество граней	Конфигурация вершины	Группа симметрии
Правильный тетраэдр	Файл:Tetrahedron.jpg	4	6	4	4 × 33	Td, [3,3]
Правильный октаэдр (четырёхугольная бипирамида)	Файл:Octahedron.jpg	6	12	8	6 × 34	Oh, [4,3]
Правильный икосаэдр	Файл:Icosahedron.svg	12	30	20	12 × 35	Ih, [5,3]
Дельтаэдры Джонсона
Треугольная бипирамида	Файл:Triangular dipyramid.png	5	9	6	2 × 33 3 × 34	D3h, [3,2]
Пятиугольная бипирамида	Файл:Pentagonal dipyramid.png	7	15	10	5 × 34 2 × 35	D5h, [5,2]
Плосконосый двуклиноид	Файл:Snub disphenoid.png	8	18	12	4 × 34 4 × 35	D2d, [2,2]
Трижды наращённая треугольная призма	Файл:Triaugmented triangular prism.png	9	21	14	3 × 34 6 × 35	D3h, [3,2]
Скрученно удлинённая четырёхугольная бипирамида	Файл:Gyroelongated square dipyramid.png	10	24	16	2 × 34 8 × 35	D4d, [4,2]

Нестрого выпуклые случаи

Существует бесконечно много дельтаэдров с копланарными (лежащими в одной плоскости) треугольниками. Если множества копланарных треугольников считаются одной гранью, можно насчитать меньше граней, рёбер и вершин. Копланарные треугольные грани могут быть слиты в ромбические, трапециевидные, шестиугольные или другие равносторонние многоугольные грани. Каждая грань должна быть выпуклым полиамондом, таким как Файл:Polyiamond-1-1.svg, Файл:Polyiamond-2-1.svg, Файл:Polyiamond-3-1.svg, Файл:Polyiamond-4-2.svg, Файл:Polyiamond-4-3.svg, Файл:Polyiamond-5-1.svg, Файл:Polyiamond-6-1.svg и Файл:Polyiamond-6-11.svg, ...

Некоторые небольшие примеры

Копланарные дельтаэдры

Рисунок	Название	Граней	Рёбер	Вершин	Конфигурации вершин	Группа симметрии
Файл:Augmented octahedron.png	Шаблон:Не переведено 5 Наращение 1 тетр. + 1 окт.	10 Файл:Polyiamond-1-1.svg	15	7	1 × 33 3 × 34 3 × 35 0 × 36	C3v, [3]
		4 Файл:Polyiamond-1-1.svg 3 Файл:Polyiamond-2-1.svg	12
Файл:Gyroelongated triangular bipyramid.png	Шаблон:Не переведено 5 Наращение 2 тетр. + 1 окт.	12 Файл:Polyiamond-1-1.svg	18	8	2 × 33 0 × 34 6 × 35 0 × 36	C3v, [3]
		6 Файл:Polyiamond-2-1.svg	12
Файл:Tet2Oct solid.png	Наращение 2 тетр. + 1 окт.	12 Файл:Polyiamond-1-1.svg	18	8	2 × 33 1 × 34 4 × 35 1 × 36	C2v, [2]
		2 Файл:Polyiamond-1-1.svg 2 Файл:Polyiamond-2-1.svg 2 Файл:Polyiamond-3-1.svg	11	7
Файл:Triangulated monorectified tetrahedron.png	Треугольная усечённая пирамида Наращение 3 тетр. + 1 окт.	14 Файл:Polyiamond-1-1.svg	21	9	3 × 33 0 × 34 3 × 35 3 × 36	C3v, [3]
		1 Файл:Polyiamond-1-1.svg 3 Файл:Polyiamond-3-1.svg 1 Файл:Polyiamond-4-3.svg	9	6
Файл:TetOct2 solid2.png	Шаблон:Не переведено 5 Наращение 2 тетр. + 2 окт.	16 Файл:Polyiamond-1-1.svg	24	10	0 × 33 4 × 34 4 × 35 2 × 36	D2h, [2,2]
		4 Файл:Polyiamond-1-1.svg 4 Файл:Polyiamond-3-1.svg	12	6
Файл:Triangulated tetrahedron.png	Тетраэдр Наращение 4 тетр. + 1 окт.	16 Файл:Polyiamond-1-1.svg	24	10	4 × 33 0 × 34 0 × 35 6 × 36	Td, [3,3]
		4 Файл:Polyiamond-4-3.svg	6	4
Файл:Tet3Oct2 solid.png	Наращение 3 тетр. + 2 окт.	18 Файл:Polyiamond-1-1.svg	27	11	1 × 33 2 × 34 5 × 35 3 × 36	D2h, [2,2]
		2 Файл:Polyiamond-1-1.svg 1 Файл:Polyiamond-2-1.svg 2 Файл:Polyiamond-3-1.svg 2 Файл:Polyiamond-4-2.svg	14	9
Файл:Double diminished icosahedron.png	Шаблон:Не переведено 5	18 Файл:Polyiamond-1-1.svg	27	11	0 × 33 2 × 34 8 × 35 1 × 36	C2v, [2]
		12 Файл:Polyiamond-1-1.svg 2 Файл:Polyiamond-3-1.svg	22	10
Файл:Triangulated truncated triangular bipyramid.png	Шаблон:Не переведено 5 Наращение 6 тетр. + 2 окт.	20 Файл:Polyiamond-1-1.svg	30	12	0 × 33 3 × 34 6 × 35 3 × 36	D3h, [3,2]
		2 Файл:Polyiamond-1-1.svg 6 Файл:Polyiamond-3-1.svg	15	9
Файл:Augmented triangular cupola.png	Трёхскатный купол Наращение 4 тетр. + 3 окт.	22 Файл:Polyiamond-1-1.svg	33	13	0 × 33 3 × 34 6 × 35 4 × 36	C3v, [3]
		3 Файл:Polyiamond-1-1.svg 3 Файл:Polyiamond-3-1.svg 1 Файл:Polyiamond-4-3.svg 1 Файл:Polyiamond-6-11.svg	15	9
Файл:Triangulated bipyramid.png	Треугольная бипирамида Наращение 8 тетр. + 2 окт.	24 Файл:Polyiamond-1-1.svg	36	14	2 × 33 3 × 34 0 × 35 9 × 36	D3h, [3]
		6 Файл:Polyiamond-4-3.svg	9	5
Файл:Augmented hexagonal antiprism flat.png	Шестиугольная антипризма	24 Файл:Polyiamond-1-1.svg	36	14	0 × 33 0 × 34 12 × 35 2 × 36	D6d, [12,2+]
		12 Файл:Polyiamond-1-1.svg 2 Файл:Polyiamond-6-11.svg	24	12
Файл:Triangulated truncated tetrahedron.png	Усечённый тетраэдр Наращение 6 тетр. + 4 окт.	28 Файл:Polyiamond-1-1.svg	42	16	0 × 33 0 × 34 12 × 35 4 × 36	Td, [3,3]
		4 Файл:Polyiamond-1-1.svg 4 Файл:Polyiamond-6-11.svg	18	12
Файл:Triangulated octahedgon.png	Шаблон:Не переведено 5 Октаэдр Наращение 8 тетр. + 6 окт.	32 Файл:Polyiamond-1-1.svg	24	18	0 × 33 12 × 34 0 × 35 6 × 36	Oh, [4,3]
		8 Файл:Polyiamond-4-3.svg	12	6

Невыпуклые дельтаэдры

Невыпуклых и тороидальных дельтаэдров существует бесконечно много.

Пример дельтаэдра с самопересекающимися гранями

• Большой икосаэдр — тело Кеплера — Пуансо, с 20 пересекающимися треугольниками

  Файл:Great icosahedron.png

Другие невыпуклые дельтаэдры можно получить путём добавления пирамид к граням всех 5 правильных многогранников:

Файл:5-cell net.png	Файл:Pyramid augmented cube.png	Файл:Stella octangula.png	Файл:Pyramid augmented dodecahedron.png	Файл:Tetrahedra augmented icosahedron.png
Триакистетраэдр	Тетракисгексаэдр	Триакисоктаэдр (stella octangula)	Пентакисдодекаэдр	Триакисикосаэдр
12 треугольников	24 треугольников		60 треугольников

Другие наращения тетраэдров:

Примеры: Наращенные тетраэдры

Файл:Biaugmented tetrahedron.png	Файл:Triaugmented tetrahedron.png	Файл:Quadaugmented tetrahedron.png
8 треугольников	10 треугольников	12 треугольников

Также путём добавления к граням перевёрнутых пирамид:

• Шаблон:Не переведено 5

Файл:Third stellation of icosahedron.svg Шаблон:Не переведено 5	Файл:Toroidal polyhedron.gif Тороидальный дельтаэдр
60 треугольников	48 треугольников

Литература

• Шаблон:Статья (Авторы показали, что существует только 8 выпуклых дельтаэдров. )
• Шаблон:Статья