Русская Википедия:Дельтоид
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Дельто́ид (от Шаблон:Lang-grc — «дельтовидный», напоминающий заглавную букву дельта) — четырёхугольник, четыре стороны которого можно сгруппировать в две пары равных смежных сторон.
Свойства
- Диагонали взаимно перпендикулярны.
- В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность
- Точка пересечения диагоналей делит одну из них пополам.
- Другая диагональ является биссектрисой углов.
- Одна диагональ делит дельтоид на два равных треугольника.
- Другая диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника, если он выпуклый, и достраивает его равнобедренным треугольником до равнобедренного треугольника, если он невыпуклый.
- Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон дельтоида, является прямоугольником, стороны которого параллельны диагоналям дельтоида. В частности, если этот прямоугольник — квадрат, то диагонали дельтоида равны, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон перпендикулярны между собой.
Дельтоид, который не является ромбом, обладает также следующими свойствами:
- Противоположные стороны имеют разные длины.
- Углы между сторонами неравной длины равны; другие два противоположных угла не равны.
- Если дельтоид выпуклый, то можно построить окружность, касающуюся продолжений всех четырёх сторон (см. рисунок).
- Если дельтоид невыпуклый, то можно построить окружность, касающуюся двух бо́льших сторон и продолжений двух меньших сторон, и окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух бо́льших сторон.
Площадь дельтоида
- Здесь приведены формулы, свойственные именно дельтоиду. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
- <math>S = \dfrac{d_{1}d_{2}}{2}</math>, где <math>d_1</math> и <math>d_2</math> — длины диагоналей.
- <math>S={a b \sin\alpha}</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — длины неравных сторон, а <math>\alpha</math> — угол между ними.
- <math>S = \left(a+b\right)r</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — длины неравных сторон, а <math>r</math> — радиус вписанной окружности.
- <math>S = \dfrac{1}{2}a^2\sin \varphi_1 + \dfrac{1}{2}b^2\sin \varphi_2</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — длины неравных сторон, а <math>\varphi_1</math> и <math>\varphi_2</math> — углы между равными сторонами соответственно.
Частные случаи
- Если угол между неравными сторонами дельтоида прямой, то вокруг него можно описать окружность (вписанный дельтоид).
- Если пара противоположных сторон дельтоида равна, то такой дельтоид является ромбом.
- Если пара противоположных сторон и обе диагонали дельтоида равны, то дельтоид является квадратом. Квадратом является и вписанный дельтоид с равными диагоналями.
Разное
- Дельтоидами являются грани дельтоидального икоситетраэдра, дельтоидального гексеконтаэдра и трапецоэдра.
