Русская Википедия:Деривационные формулы Вайнгартена

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Деривационные формулы ВайнгартенаШаблон:R дают разложение производной единичного вектора нормали к поверхности в терминах первых производных радиус-вектора этой поверхности. Эти формулы выведены в 1861 году германским математиком Юлиусом ВайнгартеномШаблон:Sfn.

Утверждение в классической дифференциальной геометрии

Пусть S будет поверхностью в трёхмерном евклидовом пространстве, которая параметризована радиус-вектором <math>\mathbf{r}(u, v)</math> поверхности. Пусть <math>P = P(u, v)</math> будет фиксированной точкой на поверхности. Тогда

<math> \mathbf{r}_{u} = \frac {\partial \mathbf{r}} {\partial u}, \quad \mathbf{r}_{v} = \frac {\partial \mathbf{r}} {\partial v}</math>

являются двумя касательными векторами в точке P.

Пусть n будет единичным вектором нормали и пусть <math>(E, F, G)</math> и <math>(L, M, N) </math> будут коэффициентами первой и второй квадратичных форм этой поверхности соответственно. Дифференциальные формулы Вайнгартена дают первую производную единичного вектора нормали n в точке P в терминах касательных векторов <math>\mathbf{r}_u</math> и <math>\mathbf{r}_v</math>:

<math>\mathbf{n}_u = \frac {FM-GL} {EG-F^2} \mathbf{r}_u + \frac {FL-EM} {EG-F^2} \mathbf{r}_v </math>

<math>\mathbf{n}_v = \frac {FN-GM} {EG-F^2} \mathbf{r}_u + \frac {FM-EN} {EG-F^2} \mathbf{r}_v </math>

Эти уравнения можно выразить компактно

<math>\partial_a \mathbf{n} = K_a^{~b} \mathbf{r}_{b} </math>,

где K_ab являются компонентами тензора кривизны поверхности.

Литература

• Шаблон:MathWorld
• Springer Encyclopedia of Mathematics, Weingarten derivational formulas
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга, section 45.
• Шаблон:Статья