Русская Википедия:Дзета-функция Гурвица

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Другие значения термина В математике Дзета-функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица, — это одна из многочисленных дзета-функций, являющихся обобщениями дзета-функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s, при Re(s) > 1, и q, Re(q) > 0:

<math>\zeta(s,q) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(q+n)^{s}}.</math>

Этот ряд является абсолютно сходящимся для заданных значений s и q. Дзета-функция Римана — это частный случай дзета-функции Гурвица при q=1.

Аналитическое продолжение

Дзета функция Гурвица допускает аналитическое продолжение до мероморфной функции, определённой для всех комплексных s, при s ≠ 1. В точке s = 1 она имеет простой полюс с вычетом равным 1. Постоянный член разложения в ряд Лорана в окрестности точки s = 1 равен:

<math>\lim_{s\to 1} \left[ \zeta (s,q) - \frac{1}{s-1}\right] =

\frac{-\Gamma'(q)}{\Gamma(q)} = -\psi(q)</math>,

где Γ(x) — это гамма-функция, и ψ(x) — это дигамма-функция.

Представления в виде рядов

Представление в виде сходящегося степенного ряда для q > −1 и произвольного комплексного s ≠ 1 было получено в 1930 году Гельмутом Хассе[1]


<math>\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1}

\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{1-s}.</math>

Этот ряд равномерно сходится на любом компактном подмножестве комплексной s-плоскости к целой функции. Внутренняя сумма может быть представлена в виде n-ой конечной разности для <math>q^{1-s}</math>, то есть:

<math>\Delta^n q^{1-s} = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n \choose k} (q+k)^{1-s}</math>

где Δ — оператор конечной разности. Таким образом

<math>\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1}

\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} \Delta^n q^{1-s}</math>

<math>= \frac{1}{s-1} {\log(1 + \Delta) \over \Delta} q^{1-s}.</math>

Интегральные представления

Дзета-функция Гурвица имеет интегральное представление в виде преобразования Меллина:


<math>\zeta(s,q)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty

\frac{t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}dt</math>

для Re(s)>1 и Re(q) >0.

Формула Гурвица

<math>\zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-i\pi s/2}\beta(x;s) + e^{i\pi s/2} \beta(1-x;s) \right]</math>,

где

<math>\beta(x;s)=

2\Gamma(s+1)\sum_{n=1}^\infty \frac {\exp(2\pi inx) } {(2\pi n)^s}= \frac{2\Gamma(s+1)}{(2\pi)^s} \mbox{Li}_s (e^{2\pi ix}) </math>. Это представление дзета-функции Гурвица верно для 0 ≤ x ≤ 1 и s>1. Здесь <math>\text{Li}_s (z)</math> — это полилогарифм.

Функциональное уравнение

Данное функциональное уравнение связывает значения дзета-функции Гурвицa слева и справа от прямой Re(s)=1/2 в комплексной s-плоскости. Для натуральных m и n, таких что m ≤ n:

<math>\zeta \left(1-s,\frac{m}{n} \right) =

\frac{2\Gamma(s)}{ (2\pi n)^s } \sum_{k=1}^n \left[cos \left( \frac {\pi s} {2} -\frac {2\pi k m} {n} \right)\; \zeta \left( s,\frac {k}{n} \right)\right] </math> верно для всех значений s.

Ряд Тейлора

Производная дзета-функции Гурвица по второму аргументу также выражается через дзета-функцию Гурвица:

<math>\frac {\partial} {\partial q} \zeta (s,q) = -s\zeta(s+1,q).</math>

Таким образом ряд Тейлора имеет вид:

<math>\zeta(s,x+y) = \sum_{k=0}^\infty \frac {y^k} {k!}

\frac {\partial^k} {\partial x^k} \zeta (s,x) = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} (-y)^k \zeta (s+k,x).</math>

Ряд Лорана

Разложение дзета-функции Гурвица в ряд Лорана может быть использовано для определения Шаблон:Нп1, которые появляются в разложении:

<math>\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n(q) \; (s-1)^n.</math>

Преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье по переменной s дзета-функции Гурвица является хи-функцией Лежандра[2]

Связь с многочленами Бернулли

Определённая выше функция <math>\beta(x;n)</math> обобщает многочлены Бернулли:

<math>B_n(x) = -Re \left[ (-i)^n \beta(x;n) \right] </math>.

С другой стороны,

<math>\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}.</math>

В частности, при <math>n=0</math>:

<math>\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x.</math>

Связь с тета-функцией Якоби

Если <math>\vartheta (z,\tau)</math> — это тета-функция Якоби, тогда

<math>\int_0^\infty \left[\vartheta (z,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}=

\pi^{-(1-s)/2} \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) \left[ \zeta(1-s,z) + \zeta(1-s,1-z) \right]</math>.

Эта формула верна для Re(s) > 0 и любого комплексного z, не являющегося целым числом. Для целого z=n формула упрощается:

<math>\int_0^\infty \left[\vartheta (n,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}=

2\ \pi^{-(1-s)/2} \ \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) \zeta(1-s) =2\ \pi^{-s/2} \ \Gamma \left( \frac {s}{2} \right) \zeta(s)</math>.

где ζ(s) — дзета-функция Римана. Последнее выражение является функциональным уравнением для дзета-функция Римана.

Связь с L-функцией Дирихле

При рациональных значениях аргумента дзета-функция Гурвица может быть представлена в виде линейной комбинации L-функций Дирихле и наоборот. Если q = n/k при k > 2, (n,k) > 1 и 0 < n < k, тогда

<math>\zeta(s,n/k)=\sum_\chi\overline{\chi}(n)L(s,\chi),</math>

при этом суммирование ведётся по всем характерам Дирихле по модулю k. И обратно

<math>L(s,\chi)=\frac {1}{k^s} \sum_{n=1}^k \chi(n)\; \zeta \left(s,\frac{n}{k}\right).</math>

в частности верно следующее представление:

<math>k^s\zeta(s)=\sum_{n=1}^k \zeta\left(s,\frac{n}{k}\right),</math>

обобщающее

<math>\sum_{p=0}^{q-1}\zeta(s,a+p/q)=q^s\,\zeta(s,qa).</math> (Верно при натуральном q и ненатуральном 1 − qa.)

Рациональные значения аргументов

Дзета-функция Гурвица встречается в различных интересных соотношениях для рациональных значений аргументов.[2] В частности, для многочленов Эйлера <math>E_n(x)</math>:

<math>E_{2n-1}\left(\frac{p}{q}\right) =

(-1)^n \frac{4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}} \sum_{k=1}^q \zeta\left(2n,\frac{2k-1}{2q}\right) \cos \frac{(2k-1)\pi p}{q}</math>

и

<math>E_{2n}\left(\frac{p}{q}\right) =

(-1)^n \frac{4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}} \sum_{k=1}^q \zeta\left(2n+1,\frac{2k-1}{2q}\right) \sin \frac{(2k-1)\pi p}{q}</math>,

Кроме того

<math>\zeta\left(s,\frac{2p-1}{2q}\right) =

2(2q)^{s-1} \sum_{k=1}^q \left[ C_s\left(\frac{k}{q}\right) \cos \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right) + S_s\left(\frac{k}{q}\right) \sin \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right) \right]</math>,

верное для <math>1\le p \le q</math>. Здесь <math>C_\nu(x)</math> и <math>S_\nu(x)</math> выражаются через хи-функциию Лежандра <math>\chi_\nu</math> как

<math>C_\nu(x) = \operatorname{Re}\, \chi_\nu (e^{ix})</math>

и

<math>S_\nu(x) = \operatorname{Im}\, \chi_\nu (e^{ix}).</math>

Приложения

Дзета-функция Гурвица возникает в различных разделах математики. Чаще всего встречается в теории чисел, где её теория является наиболее развитой. Также дзета-функция Гурвица встречается в теории фракталов и динамических систем. Дзета-функция Гурвица применяется в математической статистике, возникает в законе Ципфа. В физике элементарных частиц возникает в формуле Швингера[3], дающей точный результат для показателя рождения пар в уравнении Дирака для стационарного электромагнитного поля.

Частные случаи и обобщения

Дзета-функция Гурвица связана с полигамма-функцией:

<math>\psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1} m! \zeta (m+1,z).</math>

Дзета-функция Лерха обобщает дзета-функцию Гурвица:

<math>\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty

\frac { z^k} {(k+q)^s}</math> то есть

<math>\zeta (s,q)=\Phi(1, s, q).</math>

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Статья
  2. ↑ 2,0 2,1 Шаблон:Статья
  3. ↑ Шаблон:Статья
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Дзета-функция_Гурвица&oldid=9739027