Русская Википедия:Дзета-функция Дедекинда
Дзета-функция Дедекинда <math>\zeta_K(s)</math> — это дзета-функция алгебраического числового поля <math>K</math>, являющаяся обобщением дзета-функции Римана.
Определение и основные свойства
Пусть <math>K</math> — алгебраическое числовое поле, <math>s</math> — комплексное число, тогда
- <math>\zeta_K(s) = \sum\limits_{I\subseteq \mathcal{O}_K}\frac{1}{(N_{K/\mathbb{Q}}(I))^s}</math>
где <math>I</math> пробегает все ненулевые идеалы кольца целых <math>\mathcal{O}_K</math> поля <math>K</math>, <math>N_{K/\mathbb{Q}}</math> — абсолютная норма идеала <math>I</math> (которая равна индексу <math>[\mathcal{O}_K\colon I]</math>). Этот ряд сходится абсолютно для всех <math>s\in\mathbb{C}</math> с действительной частью <math>\operatorname{Re}(s)>1 </math>.
В общем случае дзета-функция Дедекинда определяется как
- <math>\zeta_K(s)=\sum\limits_{\mathfrak{a}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}</math>
где <math>\mathfrak{a}</math> пробегает все целые дивизоры поля <math>K</math>, а <math>N(\mathfrak{a})</math> обозначает норму дивизора <math>\mathfrak{a}</math>.
Свойства
- Если <math>K=\mathbb{Q}</math> — поле рациональных чисел, то <math>\zeta_{\mathbb{Q}}(s)=\zeta(s)</math> - дзета-функции Римана.
Эйлерово произведение
Дзета-функция Дедекинда <math>K</math> разлагается в эйлерово произведение по всем простым идеалам <math>P</math> кольца <math>\mathcal{O}_K</math>
- <math>\zeta_K(s) = \prod\limits_{P\subseteq \mathcal{O}_K} \frac{1}{1-\frac{1}{(N_{K/\mathbb{Q}}(I))^s}}</math>
при <math>\operatorname{Re}(s)>1 </math>.
Эта формула выражает единственность разложения идеала <math>I</math> в произведение простых идеалов в дедекиндовом кольце <math>\mathcal{O}_K</math>. При <math>\operatorname{Re}(s)>1</math> это произведение ненулевых множителей абсолютно сходится к <math>\zeta_K(s)</math>, откуда следует, что в этой области <math>\zeta_K(s)\neq 0</math>.
Аналитическое продолжение
<math>\zeta_K(s)</math> имеет аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, которое является мероморфной функцией, имеющей простой полюс в точке <math>s=1</math>.
Функциональное уравнение
Как и дзета-функция Римана, дзета-функция Дедекинда удовлетворяет некоторому функциональному уравнению, связывающему значения <math>\zeta_K(s)</math> и <math>\zeta_K(1-s)</math>. Конкретно, пусть <math>D(K)</math> — дискриминант поля <math>K</math>, <math>r</math> — число действительных вложений, а <math>t</math> — число пар комплексно-сопряжённых вложений поля <math>K</math> в <math>\mathbb{C}</math>. Обозначим
- <math>\Gamma_{\mathbf {R} }(s)=\pi^{-s/2}\Gamma (s/2)</math>
- <math>\Gamma_{\mathbf {C} }(s)=2(2\pi)^{-s}\Gamma (s)</math>
где <math>\Gamma(s)</math> — гамма-функция. Тогда функция
- <math> \Lambda_K(s)=|D(K)|^{s/2}\Gamma_{\mathbf{R}}^r(s)\Gamma_{\mathbf{C}}^t(s)\zeta_K(s)</math>
удовлетворяет функциональному уравнению
- <math> \Lambda_K(s)=\Lambda_K(1-s)</math>
Связь с характеристиками поля
Как и дзета-функция Римана, значения дзета-функции Дедекинда заключают в себе (хотя бы гипотетически) важную арифметическую информацию о <math>K</math>.
Например, точка <math>s=1</math> — простой полюс <math>\zeta_K(s)</math>, и для поля алгебраических чисел <math>K</math> степени <math>n=r+2t</math> (<math>r,t</math> определены выше) вычет в этой точке равен
- <math>\lim\limits_{s\to 1+0}(s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r+t}\pi^t R(K)}{w(K)\sqrt{|D(K)|}}h(K)</math>
где <math>h(K)</math> — число классов дивизоров, <math>D(K)</math> — дискриминант поля, <math>R(K)</math> - регулятор поля <math>K</math>, а <math>w(K)</math> — число содержащихся в <math>K</math> корней из 1 (порядок подгруппы кручения <math>\mathcal{O}_K^{\times}</math>). Вычет в этой точке дает аналитическую формулу для числа классов.
Другой пример — нуль <math>s=0</math>, порядок <math>u</math> которого равен рангу группы единиц кольца <math>\mathcal{O}_K</math>. Предел в этой точке равен
- <math> \lim\limits_{s\to 0}s^{-u}\zeta_K(s)=-\frac {h(K)R(K)}{w(K)}.</math>
Это следует из функционального уравнения и соотношения <math>u=r+t-1</math>.
Из функционального уравнения и того, что <math>\Gamma(-n) = \infty </math> для всех натуральных <math>n</math> получаем, что <math>\zeta_K(-2n)=0</math>. <math>\zeta_K(-2n-1)=0</math> для всех <math>K</math>, кроме случая, когда <math>K</math> полностью действительно (т.е. когда <math>t=0</math>, т.е. когда <math>K=\mathbb{Q}</math> или <math>K=\mathbb{Q}[\sqrt{d}], d>0</math>). В полностью действительном случае, Зигель показал, что <math>\zeta_K(s)</math> - ненулевое рациональное число для отрицательных нечетных <math>s</math>. Стивен Лихтенбаум предложил гипотезу о выражении специальных значений для этих рациональных чисел в терминах алгебраической K-теории поля <math>K</math>.
Связь с дзета- и L-функциями
В случае, когда <math>K</math> — абелево расширение <math>\mathbb{Q}</math>, его дзета-функция Дедекинда <math>\zeta_K(s)</math> может быть представлена в виде произведений L-функций Дирихле. К примеру, если <math>K</math> — квадратичное поле, то это означает, что
- <math>\frac{\zeta_K(s)}{\zeta_{\mathbb{Q}}(s)}=L(s,\chi)</math>
где <math>\chi</math> — это символ Якоби, используемый как характер Дирихле. Это соотношение является аналитической переформулировкой квадратичного закона взаимности Гаусса.
В общем случае, если <math>K</math> — расширение Галуа поля <math>\mathbb{Q}</math> с группой Галуа <math>G</math>, то его дзета-функция Дедекинда является L-функцией Артина регулярного представления <math>G</math>, а значит разлагается в произведение L-функций Артина неприводимых представлений Артина <math>G</math>.
Связь с L-функциями Артина показывает, что если <math>L/K</math> — расширение Галуа, то <math>\frac{\zeta_L(s)}{\zeta_K(s)}</math> является голоморфной (<math>\zeta_K(s)</math> "делит" <math>\zeta_L(s)</math>). В случае произвольного расширения аналогичное утверждение следует из гипотезу Артина для L-функций
Кроме того, <math>\zeta_K(s)</math> является дзета-функцией Хассе-Вейля для <math>\operatorname{Spec}\mathcal{O}_K</math> и мотивной L-функцией мотива, приходящего из когомологии <math>\operatorname{Spec}K</math>.
Расширенная гипотеза Римана
Расширенная гипотеза Римана (РГР) утверждает, что для любого алгебраического числового поля <math>K</math> если <math>s</math> — комплексный корень уравнения <math>\zeta_K(s)=0</math>, лежащий в так называемой критической полосе <math>0\leqslant\operatorname{Re}s\leqslant1</math>, то его действительная часть <math>\operatorname{Re}s=\frac{1}{2}</math>.
Обычная гипотеза Римана получается из расширенной для <math>K=\mathbb{Q}, \mathcal{O}_K=\mathbb{Z}</math>.
Из РГР следует эффективная версия[6] теоремы Чеботарёва о плотности: если <math>L/K</math> - конечное расширение Галуа с группой Галуа <math>G</math>, и <math>C</math> - множество сопряженных классов <math>G</math>, число неразветвленных простых чисел в <math>K</math> с нормой, не превосходящей <math>x</math> с классом сопряженности Фробениуса в <math>C</math> растет как
- <math>\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\ln x+\ln |D(K)|){\bigr )}{\Bigr )</math>
причем константа в <math>O</math> абсолютна, <math>n</math> - степень расширения <math>L</math> над <math>\mathbb{Q}</math>, а <math>D(K)</math> - дискриминант.
Литература
