Русская Википедия:Дзета-функция Хассе — Вейля
Дзета-функция Хассе-Вейля — аналог дзета-функции Римана, который строится более сложным образом из количества точек многообразия в конечном поле. Это комплексная аналитическая функция, для эллиптических кривых её поведение около точки 1 тесно связано с группой рациональных точек этой эллиптической кривой.
Дзета-функция Хассе-Вейля как глобальная L-функция
Дзета-функция Хассе-Вейля, присоединенная к алгебраическому многообразию <math>V</math>, определённому над полем алгебраических чисел <math>K</math>, является одним двух наиболее важных типов L-функций. Такие L-функции называются глобальными, поскольку они определяются как произведение Эйлера локальных дзета-функций. Они образуют один из двух основных классов глобальных L-функций, а другой — L-функции, связанные с автоморфными представлениями. Гипотетически предполагается, что существует только один существенный тип глобальной L-функции с двумя описаниями (одно из них исходит из алгебраического многообразия, другое — из автоморфного представления); это было бы обширным обобщением гипотезы Таниямы-Симуры, самого глубокого и недавнего результата (на 2009-й год) в теории чисел.
Описание дзета-функции Хассе-Вейля с точностью до конечного числа множителей его эйлерового произведения относительно просто. Это получилось из начальных рассмотрений Хассе и Вейля, мотивированными случаем, когда <math>V</math> — это единственная точка, а дзета-функция Римана.
Взяв случай <math>K=\mathbb{Q}</math> и <math>V</math> — неособое проективное многообразие, мы можем для почти всех простых чисел <math>p</math> рассмотреть редукцию <math>V</math> по модулю <math>p</math>, то есть алгебраическое многообразие <math>V_p</math> над конечным полем <math>\mathbb{F}_p</math>. Для почти всех <math>p</math> <math>V_p</math> будет неособым. Мы определяем <math> Z_{V/\mathbb{Q}}(s) </math>как ряд Дирихле комплексной переменной <math>s</math>, который является бесконечным произведением по всем простым числам локальных дзета-функций <math> \zeta_{V, p} (p^{-s}) </math>. Тогда <math>Z(s)</math>, согласно нашему определению, хорошо определено только с точностью до умножения на рациональную функцию от в конечного числа аргументов вида <math>p^{-s}</math>.
Так как эта неопределённость относительно безвредна и имеет мероморфное продолжение всюду, то существует смысл, в котором свойства <math>Z(s)</math> существенно не зависят от него. В частности, хотя точная форма функционального уравнения для <math>Z(s)</math>, определенно будет зависеть от пропущенных множителей, но существование такого функционального уравнения от этих множителей зависеть не будет.
Более четкое определение дзета-функции Хассе-Вейля стало возможным благодаря развитию этальных когомологий; они аккуратно объясняют, что делать с недостающими множителями с плохой редукцией. В соответствии с общими принципами, видимыми в теории ветвления, простые с плохой редукцией несут хорошую информацию (теория кондуктора). Это проявляется в теории эталей в критерий Огга-Нерона-Шафаревича для хорошей редукции, а именно, что в определенном смысле существует хорошая редукция во всех простых числах <math>p</math>, для которых представление Галуа <math>\rho</math> на этальной когомологии группы <math>V</math> является неразветвлённым. Для них определение локальной дзета-функции можно восстановить в терминах характеристического многочлена <math> \rho (\operatorname {Frob} (p)), </math> где <math>\operatorname{Frob}(p)</math> — эндоморфизм Фробениуса для <math>p</math>. Что происходит при разветвленном <math>p</math>, так это то, что <math>\rho</math> нетривиально в группе инерции <math>I(p)</math>. Для таких простых определение должно быть исправлено, взяв наибольшее частное от представления <math>\rho</math>, на котором группа инерции действует тривиальным представлением. С этим уточнением определение <math>Z(s)</math> может быть успешно модернизировано с почти всех <math>p</math> до всех <math>p</math>, участвующих в произведении Эйлера. Следствия из функционального уравнения были разработаны Серром и Делинем в конце 1960-х годов; само функциональное уравнение вообще не доказано.
Пример: эллиптическая кривая над полем рациональных чисел
Пусть <math>E</math> — эллиптическая кривая над <math>\mathbb{Q}</math> c кондуктором <math>N</math>, а <math>p</math> — произвольное простое число. Тогда <math>E</math> имеет хорошую редукцию при всех <math>p</math>, не делящих <math>N</math>, имеет мультипликативную редукцию в случае, если <math>p</math> делит <math>N</math>, но <math>p^2</math> не делит <math>N</math>, и имеет аддитивную редукцию в прочих случаях (то есть если <math>p^2</math> делит <math>N</math>). Тогда дзета-функция Хассе-Вейля от <math>E</math> принимает вид
- <math> Z_ {E/ \mathbb Q} (s) = \frac {\zeta (s) \zeta (s-1)} {L (s, E)}. \, </math>
Здесь <math>\zeta(s)</math> — обычная дзета-функция Римана, а <math>L(s,E)</math> называется L — функцией <math>E/\mathbb{Q}</math>, которая имеет вид
- <math>L(s,E)=\prod\limits_pL_p(s,E)^{-1}\,</math>
где для данного <math>p</math>,
- <math> L_p (s, E) = \begin{cases}
(1-a_pp^{- s} + p^{1-2s}), & \text { если } p \nmid N \\ (1-a_pp^{- s}), & \text { если } p \mid N \text { и } p^2 \nmid N \\ 1, & \text { если } p^2 \mid N \end {cases} </math>
где, в случае хорошего редукции <math>a_p=p+1-\text{число точек в }E\bmod p</math>, а в случае мультипликативной редукции <math>a_p=\pm 1</math> в зависимости от того, разделен ли <math>E</math> или нерасщепленной мультипликативной редукцией в <math>p</math>.
Гипотеза Хассе-Вейля
Гипотеза Хассе-Вейля утверждает, что дзета-функция Хассе-Вейля должна аналитически продолжаться на мероморфную функцию на всю комплексную плоскость и должна удовлетворять функциональному уравнению, аналогичному функциональному уравнению для дзета-функции Римана. Для эллиптических кривых над рациональными числами гипотеза Хассе-Вейля следует из теоремы модулярности.
См. также
Литература
