Русская Википедия:Диагональ
Диагона́ль (Шаблон:Lang-el; от Шаблон:Lang-el2 «через» + Шаблон:Lang-el2 «угол») — в элементарной геометрии отрезок, соединяющий несмежные вершины многоугольника или многогранника[1]. По аналогии используется также при наглядном описании квадратных матриц, в теории множеств и теории графов.
Многоугольники и многогранники
Для многоугольников диагональ — это отрезок, соединяющий две несмежные вершины. Так, четырёхугольник имеет две диагонали, соединяющие противолежащие вершины. У выпуклого многоугольника диагонали проходят внутри него. Многоугольник выпуклый тогда и только тогда, когда его диагонали лежат внутри.
Пусть <math>n</math> — число вершин многоугольника, вычислим <math>d</math> — число возможных разных диагоналей. Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и, естественно, себя самой. Таким образом, из одной вершины можно провести <math>n-3</math> диагонали; перемножим это на число вершин
- <math>(n - 3) \times n</math>,
однако, мы посчитали каждую диагональ дважды (по разу для каждого конца) — отсюда,
- <math>d= \frac{n^2-3n}{2}.</math>
Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани. Так, на изображении куба отмечена диагональ <math>A'C</math>. Отрезок же <math>B'D'</math> диагональю куба не является (но является диагональю одной из его граней).
Аналогично можно определить диагональ и для многогранников в пространствах бо́льших размерностей.
Матрицы
В случае с квадратными матрицами, главная диагональ является диагональной линией элементов, которая проходит с северо-запада на юго-восток. Например, единичная матрица может быть описана, как матрица, имеющая единицы на главной диагонали и нули вне её.
Наддиагональными элементами называются такие, что лежат выше и правее главной диагонали. Поддиагональными — те, что ниже и левее. Диагональная матрица — такая матрица, у которой все элементы вне главной диагонали (т.е. наддиагональные и поддиагональные) равны нулю.
Диагональ с юго-запада на северо-восток часто называется побочной диагональю.
Теория множеств
По аналогии, подмножество декартового произведения X×X произвольного множества X на само себя, состоящее из пар элементов (x, x), называется диагональю множества. Это — единичное отношение, оно играет важную роль в геометрии: например, константные элементы отображения F с X в X могут быть получены сечением F с диагональю множества X.
Примечания
Ссылки
- Диагонали многоугольника Шаблон:Wayback с интерактивными анимациями
- Диагонали многоугольника Шаблон:Wayback с MathWorld.
- Диагонали Шаблон:Wayback матриц от MathWorld.
Шаблон:Set-theory-stub Шаблон:Нет ссылок
