Русская Википедия:Диаграмма Хассе
Диаграмма Хáссе — вид диаграмм, используемый для представления конечного частично упорядоченного множества в виде рисунка его транзитивного сокращения. Конкретно, для частично упорядоченного множества <math>(S, \le)</math> диаграмма представляет каждый элемент <math>S</math> как вершины на плоскости и отрезки или кривые, идущие вверх от элемента <math>x</math> к элементу <math>y</math>, если <math>x \le y</math> и не существует элемента <math>z</math>, для которого <math>x < z < y</math>. Эти кривые могут пересекаться, но не должны проходить через вершины, если только они не являются концами линии. Такая диаграмма с помеченными вершинами однозначно определяют частичный порядок.
Впервые систематически такого рода визуализация описана Биркгофом в 1948 годуШаблон:Sfn, им же дано название в честь использовавшего подобные диаграммы Хельмута Хассе, однако такого рода рисунки встречаются и в более ранних трудах, например, в учебнике французского математика Шаблон:Нп2 1895 года изданияШаблон:Sfn.
Удобство диаграмм
Хотя диаграммы Хассе является простым и интуитивно ясным средством для работы с конечным частично упорядоченным множеством, весьма сложно нарисовать «хорошую», удобную для визуального восприятия диаграмму для достаточно нетривиального множества из-за большого количества возможных вариантов отображения. Простая техника, предполагающая начать с минимальных элементов и рисовать вышележащие элементы последовательно часто дает плохие результаты — симметрии и внутренние структуры легко потерять.
Например, булеан множества из четырёх элементов, упорядоченного операцией включения <math>\subseteq</math>, может быть представлен любой из четырёх нижеприведённых диаграмм (каждое подмножество снабжено меткой с бинарной кодировкой, показывающей, содержится соответствующий элемент в подмножестве — 1, или нет — 0):
| Файл:Hypercubeorder binary.svg | Файл:Hypercubecubes binary.svg | Файл:Hypercubestar binary.svg | Файл:Hypercubematrix binary.svg |
Первая диаграмма демонстрирует структуру уровней. Вторая диаграмма имеет ту же структуру уровней, но на ней некоторые рёбра удлинены, чтобы подчеркнуть, что четырёхмерный куб является объединением двух трёхмерных. Третья диаграмма показывает некоторую внутреннюю симметрию. В четвёртой диаграмме вершины упорядочены подобно матрице 4×4.
Планарность
Некоторые свойства частичных порядков относительно планарности их диаграммы Хассе (то есть возможности нарисовать её без пересечения рёбер):
- Если частичный порядок является решёткой, то его можно нарисовать без пересечений тогда и только тогда, когда размерность порядка не менее двухШаблон:SfnШаблон:Sfn.
- Если частичный порядок имеет по меньшей мере один минимальный или максимальный элемент, то можно за линейное время проверить, существует ли диаграмма без пересеченийШаблон:Sfn.
- Определить, можно ли частичный порядок представить планарной диаграммой Хассе, в общем случае — NP-полная задачаШаблон:Sfn.
- Если заданы <math>y</math>-координаты элементов частичного порядка, то за линейное время может быть найдена его диаграмма Хассе, сохраняющая заданные координаты, если только такая диаграмма существуетШаблон:Sfn. В частности, если частный порядок имеет уровни, можно за линейное время определить, имеется ли диаграмма Хассе без пересечений, у которой высота каждой вершины пропорциональна её рангу.
Примечания
Литература
- Шаблон:Статья.
- Шаблон:Книга
- Перевод на русский: Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья.
- Шаблон:Статья.
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
Ссылки
