Русская Википедия:Диаграмма Эйлера

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Не путать

Файл:Venn-diagram-ABC.png
Пример кругов Эйлера. Буквами обозначены, например, свойства: <math>B</math> — живое существо, <math>A</math> — человек, <math>C</math> — неживая вещь

Диагра́ммы Э́йлера (круги́ Э́йлера) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Первое их использование приписывают Леонарду ЭйлеруШаблон:Переход. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. Не следует их путать с диаграммами Эйлера — ВеннаШаблон:Переход.

Диаграммы Эйлера также называют кругами Эйлера. При этом «круги» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые фигуры.

На диаграммах Эйлера множества изображаются кругами (или другими фигурами). Причём непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами. Например, диаграмма на рисунке показывает, что множество A является подмножеством B, а B не пересекается с C.

История

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.[1]

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна, подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Венн предложил свою схему изображения отношения между множествами, которая теперь называется диаграммами Эйлера — Венна. Первоначально круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логикиШаблон:Sfn.

Связь диаграмм Эйлера и Венна

Файл:Syllogism-Set-Diagrams.svg
Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами
Файл:Venn and Euler diagrams of 3-ary Boolean relations.svg
22 (из 256) существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу)

Диаграммы Эйлера — Венна в отличие от диаграмм Эйлера изображают все <math>2^n</math> комбинаций <math>n</math> свойств, то есть конечную булеву алгебру. При <math>n=3</math> диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

На рис. ниже даны диаграммы Венна и Эйлера для 3 множеств однозначных натуральных чисел:

  • <math>A = \{1,\, 2,\, 5\}</math>
  • <math>B = \{1,\, 6\}</math>
  • <math>C = \{4,\, 7\}</math>

Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают. На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу). Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).

Примеры

На рисунке внизу дана Диаграмма Эйлера, иллюстрирующая тот факт, что множество существ с 4 конечностями является подмножеством животных, которое не пересекается с множеством минералов.

Файл:EulerDiagram-ru.svg
Диаграмма Эйлера

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Логика

  1. Leibniz G. W. Opuscules et fragments inédits de Leibniz. — Paris, 1903. — p. 293—321.