Русская Википедия:Диаграмма Юнга

Диаграммы Юнга

Диаграммы Юнга — наглядный способ описания представлений симметрических и полных линейных групп и изучения их свойств.

История

Диаграммы Юнга были предложены Шаблон:Iw, математиком из Кембриджского университета, в 1900 году^[1]^[2]. Впоследствии в 1903 году они были использованы Георгом Фробениусом для изучения симметрических групп.

Дальнейшее развитие диаграмм Юнга прослеживается в работах многочисленных математиков — таких, как Шаблон:Iw, Вильям Ходж, Шаблон:Iw, Жан-Карло Рота, Шаблон:Iw и Шаблон:Iw .

Определения

Примечание: в этой статье для диаграмм и таблиц используется способ записи, принятый в англоязычных странах.

Диаграммы

Файл:Young diagram for 541 partition.svg

Диаграмма Юнга формы (5, 4, 1), Английская нотация

Диаграмма Юнга (также называемая диаграммой Ферре в случаях, когда вместо ячеек используют точки^[3]) — это конечный набор ячеек или клеток, выровненных по левой границе, в котором длины строк образуют невозрастающую последовательность (каждая строка такой же длины как предыдущая, или короче). Набор чисел, состоящий из длин строк, задаёт разбиение Шаблон:Mvar неотрицательного целого числа Шаблон:Mvar, которое равно общему количеству ячеек диаграммы. Аналогично, про конкретно взятое разбиение Шаблон:Mvar говорят, что оно задаёт форму соответствующей диаграммы Юнга.

Включение одной диаграммы Юнга в другую задаёт частичный порядок на множестве всех разбиений, что, в свою очередь, задаёт структуру, называемую решеткой Юнга.

Разбиение, задаваемое транспонированной диаграммой Юнга, называется разбиением, сопряжённым или транспонированным к Шаблон:Mvar.

Шаблон:Hider

Таблицы

Файл:Young tableaux for 541 partition.svg

Стандартная таблица Юнга формы (5, 4, 1)

Таблицей Юнга называется диаграмма Юнга, клетки которой заполнены символами из какого-нибудь алфавита, который обычно предполагается вполне упорядоченным множеством. Изначально, алфавитом полагалось множество пронумерованных переменных Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar…, но в настоящее время, для краткости, чаще используются натуральные числа. В их классическом применении к теории представлений симметрических групп, таблицы Юнга заполнены Шаблон:Mvar различными числами, произвольно вписанными в клетки диаграммы. Таблица называется стандартной, если числа возрастают в каждой строчке и в каждом столбце. Число различных стандартных таблиц Юнга с Шаблон:Mvar элементами описывается числом инволюций в симметрической группе порядка Шаблон:Mvar:

1, Шаблон:Nums, … (Шаблон:OEIS long).

В других приложениях бывает естественным разрешить повторения некоторых чисел (а какие-то не использовать вовсе). Таблица называется полустандартной, если числа не убывают по горизонтали и возрастают по вертикали. Выписывая, сколько раз каждое число появилось в таблице, мы получаем последовательность, известную как вес таблицы. Поэтому стандартные таблицы Юнга в точности совпадают с полустандартными таблицами веса (1,1,…,1).

Вариации

Существуют вариации определения таблицы: например, в «строчно-строгой» таблице числа строго возрастают вдоль строк, и не возрастают вдоль столбцов. Таблицы с убывающими числами рассматриваются в теории плоских разбиений. Существуют и другие обобщения (domino tableaux, ribbon tableaux), где клеточки могут объединяться до того, как им назначают числа.

Косые таблицы Юнга

Файл:Skew tableau 5422-21.svg

Косая таблица формы (5, 4, 2, 2) / (2, 1), английская нотация

Косая форма — это пара разбиений (Шаблон:Mvar,Шаблон:Mvar), такая что диаграмма Юнга для Шаблон:Mvar содержит диаграмму для Шаблон:Mvar; обозначение: Шаблон:Mvar/Шаблон:Mvar. Если Шаблон:Mvar=(Шаблон:Mvar,Шаблон:Mvar,…) и Шаблон:Mvar=(Шаблон:Mvar,Шаблон:Mvar,…), то вложение диаграмм означает, что Шаблон:Mvar ≤ Шаблон:Mvar для всех Шаблон:Mvar. Косая диаграмма косой формы Шаблон:Mvar/Шаблон:Mvar — это теоретико-множественная разность диаграмм для Шаблон:Mvar и для Шаблон:Mvar: множество квадратов, принадлежащих диаграмме для Шаблон:Mvar, но не принадлежащих диаграмме для Шаблон:Mvar. Косая таблица формы Шаблон:Mvar/Шаблон:Mvar получается посредством заполнения клеток соответствующей косой диаграммы; такая таблица называется полустандартной, если числа не убывают по строкам и возрастают по столбцам; полустандартная таблица называется стандартной, если каждое число от единицы до количества клеток встречается ровно один раз. В то время как отображение из разбиений в их диаграммы Юнга является инъективным, то же самое не верно для отображения из косых форм в косые диаграммы;^[4] Хотя многие свойства косых таблиц зависят только от заполненных квадратов, некоторые могут зависеть и от косой формы. Таблицы Юнга могут быть отождествлены с косыми таблицами, для которых разбиение Шаблон:Mvar пустое (разбиение нуля).

Любая косая полустандартная таблица Шаблон:Mvar формы Шаблон:Mvar/Шаблон:Mvar, заполненная положительными целыми числами, порождает последовательность разбиений (или последовательность диаграмм Юнга): первый элемент — это Шаблон:Mvar, а i-й получается добавлением всех ячеек, содержащих число, меньшее или равное i; в конце концов получается диаграмма Шаблон:Mvar. Любая пара соседних форм в этой последовательности образует косую форму, в каждом столбце которой не более одной ячейки; такие формы называются горизонтальными полосками. Эта последовательность полностью определяет таблицу Шаблон:Mvar, и иногда в литературе (например, в книге Макдональда) косые полустандартные формы определяют как последовательности такого вида.

Приложения

Диаграммы Юнга находят многочисленные применения в комбинаторике, теории представлений и алгебраической геометрии. Были исследованы различные способы подсчёта числа диаграмм, которые привели к определению и формулам для многочленов Шура. Известно множество алгоритмов, выполняемых непосредственно на диаграммах, такие как jeu de taquin («игра в пятнашки») Шютценбергера и соответствие Робинсона — Шенстеда — Кнута. Ласку и Шютценбергер изучили ассоциативное произведение на множестве полустандартных диаграмм Юнга, приводящее в итоге к структуре, известной как плактический моноид.

В теории представлений, стандартные таблицы Юнга размера Шаблон:Mvar описывают базисы неприводимых представлений симметрической группы S_k. Стандартный мономиальный базис в конечномерном неприводимом представлении полной линейной группы Шаблон:Math параметризуется множеством полустандартных таблиц Юнга фиксированной формы над алфавитом {1, 2, …, Шаблон:Mvar}. Из этого факта вытекает несколько важных следствий для теории инвариантов, начиная с работ Ходжа по однородным координатным кольцам грассманианов, за которыми последовали работы Айзенбада и Жан-Карло Роты, вместе с соавторами Шаблон:Iw и Шаблон:Iw. Правило Литтлвуда — Ричардсона, описывая (среди прочего) разложение тензорного произведения неприводимых представлений Шаблон:Math на неприводимые компоненты, формулируется в терминах определённых косых полустандартных таблиц.

Приложения в алгебраической геометрии сосредоточены вокруг Шаблон:Iw на грассманианах и многообразиях флагов. Некоторые важные классы когомологий могут быть представлены с помощью Шаблон:Iw и описаны в терминах диаграмм Юнга.

Приложения в теории представлений

Диаграммы Юнга находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми представлениями симметрической группы (над комплексными числами). Они предоставляют удобный способ задания симметризаторов Юнга, на которых строится теория представлений симметрической группы. Многие факты о представлениях могут быть выведены из соответствующих диаграмм. Ниже приведены два примера: определение размерности представления и ограниченные представления.

Диаграммы Юнга также параметризуют неприводимые полиномиальные представления полной линейной группы Шаблон:Math (когда они содержат не более Шаблон:Mvar непустых строк), а также неприводимые представления специальной линейной группы Шаблон:Math (когда они содержат не более Шаблон:Math непустых строк) и неприводимые комплексные представления специальной унитарной группы Шаблон:Math (опять же, когда они содержат не более Шаблон:Math непустых строк). В этих случаях центральную роль играют полустандартные таблицы с числами, не превосходящими Шаблон:Mvar (в частности, их число определяет размерность представлений).

Формула крюков

Файл:Hook length for 541 partition.svg

Длины крюков для ячеек разбиения 10=5+4+1

Размерность неприводимого представления Шаблон:Math (отвечающего разбиению Шаблон:Mvar числа Шаблон:Mvar) симметрической группы Шаблон:Math равняется количеству различных стандартных таблиц Юнга, соответствующим диаграмме разбиения. Это число может быть посчитано по Шаблон:Iw.

Длиной крюка Шаблон:Math клетки Шаблон:Mvar в диаграмме Шаблон:Math формы Шаблон:Mvar называется число клеток в той же строке правее плюс число клеток в том же столбце ниже плюс один (сама клетка). По формуле крюков, размерность неприводимого представления равняется Шаблон:Math, поделённому на произведение длин всех крюков диаграммы:

<math>\dim\pi_\lambda = \frac{n!}{\prod_{x \in Y(\lambda)} \mathrm{hook}(x)}.</math>

Рисунок справа иллюстрирует длины крюков для диаграммы разбиения 10 = 5 + 4 + 1. Поэтому

<math>\dim\pi_\lambda = \frac{10!}{7\cdot5\cdot 4 \cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot1} = 288.</math>

Аналогично, размерность неприводимого представления Шаблон:Math группы Шаблон:Math, отвечающее разбиению λ числа n (на не более чем r слагаемых), равна количеству полустандартных таблиц формы λ (содержащих только числа от 1 до r), которое даётся формулой:

<math>\dim W(\lambda) = \prod_{(i,j) \in Y(\lambda)} \frac{r+j-i}{\mathrm{hook}(i,j)},</math>

где индекс i нумерует строку, а индекс j нумерует столбец клетки.^[5] Например, разбиение (5,4,1) порождает размерность соответствующего неприводимого представления группы Шаблон:Math (обход клеток построчный):

<math>\dim W(\lambda) = \frac{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 5}{7\cdot5\cdot 4 \cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot1} = 66 528.</math>

Ограниченные представления

Представление симметрической группы Шаблон:Math на Шаблон:Mvar элементах является также представлением симметрической группы на Шаблон:Math элементе, Шаблон:Math. Однако неприводимое представление Шаблон:Math не обязательно является неприводимым представлением Шаблон:Math, а может быть прямой суммой нескольких таких представлений. Эти представления называются факторами ограниченного представления.

Вопрос определения разложения ограниченного представления данного неприводимого представления S_n, отвечающего разбиению Шаблон:Mvar числа Шаблон:Mvar, имеет следующий ответ. Рассматриваются все диаграммы Юнга, которые можно получить из диаграммы формы Шаблон:Mvar удалением одной клетки (которая должна находиться в конце своей строки и своего столбца). Ограниченное представление тогда разлагается в прямую сумму неприводимых представлений Шаблон:Math, соответствующих этим диаграммам, причём каждое из них в сумме встречается ровно один раз.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Буфетов А. И., Козин Н. Е. Диаграммы Юнга, ортогональные полиномы и случайные матрицы // Летняя школа «Современная математика», 2010. 19 июля 2010 г. 15:30, г. Дубна
Weisstein, Eric W. Ferrers Diagram // MathWorld—A Wolfram Web Resource.
Weisstein, Eric W. Young Tableau // MathWorld—A Wolfram Web Resource.
Semistandard tableaux entry in the FindStat database
Standard tableaux entry in the FindStat database

↑ Шаблон:Citation.
↑ Шаблон:Citation. См., в частности, стр. 133.
↑ Р. Стенли Перечислительная комбинаторика. М: Мир, 1990. с. 52.
↑ например, косая диаграмма, состоящая из единственного квадрата в позиции (2,4) может быть получена путём удаления поддиаграммы Шаблон:Mvar<math>=(5,3,2,1)</math> из диаграммы Шаблон:Math, или ещё бесконечным количеством способов. Вообще говоря, любая косая диаграмма, для которой множество непустых строк (или непустых столбцов) не является сплошным, или не содержащая первой строки (или первого столбца), происходит более чем из одной косой формы.
↑ Шаблон:Книга, ур. 9.28 и приложение B.4

[1] Шаблон:Citation.

[2] Шаблон:Citation. См., в частности, стр. 133.

[3] Р. Стенли Перечислительная комбинаторика. М: Мир, 1990. с. 52.

[4] например, косая диаграмма, состоящая из единственного квадрата в позиции (2,4) может быть получена путём удаления поддиаграммы Шаблон:Mvar<math>=(5,3,2,1)</math> из диаграммы Шаблон:Math, или ещё бесконечным количеством способов. Вообще говоря, любая косая диаграмма, для которой множество непустых строк (или непустых столбцов) не является сплошным, или не содержащая первой строки (или первого столбца), происходит более чем из одной косой формы.

[5] Шаблон:Книга, ур. 9.28 и приложение B.4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.