Русская Википедия:Дивизор (алгебраическая геометрия)
В алгебраической геометрии дивизоры являются обобщением подмногообразий некоторого алгебраического многообразия коразмерности 1. Существуют два различных таких обобщения — дивизоры Вейля и дивизоры Картье (названы в честь Андре Вейля и Пьера Картье), эти понятия эквивалентны в случае многообразий (или схем) без особенностей.
Дивизоры Вейля
Определение
Дивизор Вейля на алгебраическом многообразии <math>X</math> (или, более общо, на нётеровой схеме) — это конечная линейная комбинация <math>{\sum_i n_i [Z_i]}</math>, где <math>[Z_i]</math> — неприводимые замкнутые подмножества <math>X</math>, а <math>n_i</math> — целые коэффициенты. Очевидно, что дивизоры Вейля образуют абелеву группу относительно сложения; эту группу обозначают <math>\mathrm{Weil}\,X</math>. Дивизор вида <math>[Z]</math> называется простым, а дивизор, для которого все коэффициенты <math>n_i</math> неотрицательны — эффективным.
Группа классов дивизоров
Предположим, что схема <math>X</math> является целой, отделимой, и регулярной в коразмерности 1 (в частности, эти свойства выполняются для гладких алгебраических многообразий). Регулярность в коразмерности 1 означает, что локальное кольцо общей точки любого неприводимого замкнутого подмножества коразмерности 1 регулярно (и нётерово, так как является локализацией нётерова кольца), а следовательно, является кольцом дискретного нормирования. Любая рациональная функция на <math>X</math> (элемент поля частных кольца регулярных функций <math>K[X]</math>) имеет некоторую норму в этом кольце. Если норма рациональной функции больше нуля для некоторого неприводимого подмножества <math>Y</math>, то говорят, что рациональная функция имеет ноль на <math>Y</math>, а если меньше нуля — имеет полюс. Из нётеровости схемы выводится, что норма рациональной функции не равна нулю лишь для конечного числа неприводимых подмножеств, таким образом каждой рациональной функции сопоставляется дивизор, обозначаемый <math>(f)</math>. Дивизоры, которые можно получить таким образом, называют главными.
Поскольку <math>(fg)=(f)+(g)</math>, главные дивизоры образуют подгруппу в <math>\mathrm{Weil}\,X</math>. Факторгруппа по подгруппе главных дивизоров называется группой классов дивизоров и обозначается <math>\mathrm{Cl}\,X</math>. Группа классов дивизоров сама по себе является интересным инвариантом схемы (тривиальность группы классов аффинной схемы <math>\mathrm{Spec} A</math> является критерием факториальности кольца <math>A</math> при условии, что <math>A</math> нётерово и целозамкнуто)Шаблон:Sfn, а также, в некоторых случаях, позволяет классифицировать все одномерные расслоения над данной схемой.
Дивизоры Вейля и линейные расслоения
Пусть <math>\mathcal L</math> — линейное расслоение над (целой, нётеровой, регулярной в коразмерности 1) схемой <math>X</math>; ему соответствует пучок сечений, локально изоморфный кольцу регулярных функций на <math>X</math>. Используя эти изоморфизмы, любому рациональному сечению <math>s</math> данного пучка (то есть сечению над некоторым открытым плотным подмножеством) можно сопоставить дивизор его нулей и полюсов, обозначаемый <math>\mathrm{div}\, s</math>Шаблон:Sfn. Два различных рациональных сечения отличаются умножением на рациональную функцию, поэтому это сопоставление определяет корректно заданное отображение из Шаблон:Нп5 в группу классов дивизоров: <math>\mathrm{div}:\mathrm{Pic}\, X\to \mathrm{Cl}\, X</math>. Можно проверить также, что это отображение является гомоморфизмом (тензорному произведению расслоений соответствует сумма дивизоров), в случае нормальности схемы оно инъективно, а в случае локальной факториальности схемы — сюръективноШаблон:Sfn. В частности, все эти условия выполняются для гладких алгебраических многообразий, что даёт классификацию линейных расслоений над ними с точностью до изоморфизма. Например, все одномерные расслоения над аффинной локально факториальной схемой тривиальны, так как тривиальна её группа классов дивизоров.
Дивизоры Картье
Для работы с произвольными схемами, имеющими особенности, часто оказывается более удобным другое обобщение понятия подмногообразия коразмерности 1Шаблон:Sfn. Пусть <math>U_i</math> — некоторое покрытие схемы <math>X</math> аффинными схемами, а <math>f_i</math> — семейство рациональных функций на соответствующих <math>U_i</math> (в данном случае под рациональной функцией подразумевается элемент полного кольца частных). Если эти функции согласованы, в том смысле что <math>f_i</math> и <math>f_j</math> на <math>U_i\cap U_j</math> отличаются умножением на обратимую регулярную функцию, то данное семейство задаёт дивизор Картье.
Более точно, пусть <math>K(U)</math> — полное кольцо частных кольца регулярных функций <math>\mathcal O_X(U)</math> (где <math>U</math> — произвольное аффинноеШаблон:Sfn открытое подмножество). Так как аффинные подмножества образуют базу топологии <math>X</math>, все <math>K(U)</math> однозначно определяют предпучок на <math>X</math>, соответствующий ему пучок обозначается Шаблон:S Дивизором Картье называется глобальное сечение факторпучка <math>\mathcal K^*_X/\mathcal O^*_X</math>, где <math>\mathcal O^*_X</math> — пучок обратимых регулярных функций. Имеется точная последовательность <math>0\to \mathcal O^*_X\to \mathcal K^*_X\to \mathcal K^*_X/\mathcal O^*_X\to 0</math>, применив к ней точный слева функтор глобальных сечений, получим точную последовательность <math>0\to \Gamma(X, \mathcal O^*_X)\to \Gamma(X, \mathcal K^*_X)\to \Gamma(X, \mathcal K^*_X/\mathcal O^*_X)\to H^1(X, \mathcal O^*_X)</math>. Дивизоры Картье, лежащие в образе отображения из <math>\Gamma(X, \mathcal K^*_X)</math>, называются главными.
Существует естественный гомоморфизм из группы дивизоров Картье (групповая операция соответствует умножению функций) в группу дивизоров Вейля; если <math>X</math> — целая отделимая нётерова схема, все локальные кольца которой факториальны, это отображение является изоморфизмом. В случае же, когда условие локальной факториальности не выполняется, дивизоры Картье соответствуют локально главным дивизорам Вейля (дивизорам, которые в окрестности каждой точки задаются как нули некоторой рациональной функции). Пример дивизора Вейля, не являющегося дивизором Картье — прямая в квадратичном конусе <math>\mathbb R[x,y,z]/(x^2+y^2-z^2)</math>, проходящая через его вершину.
Дивизору Картье, как и дивизору Вейля, можно сопоставить линейное расслоение (или, эквивалентно, обратимый пучок). Отображение из факторгруппы дивизоров Картье по подгруппе главных дивизоров в группу Пикара является инъективным гомоморфизмом, а в случае проективных или целых схем — сюръективным.
Эффективные дивизоры Картье
Дивизор Картье называется эффективным, если все задающие его функции <math>f_i</math> регулярны на соответствующих множествах <math>U_i</math>. В этом случае соответствующий дивизору обратимый пучок является Шаблон:Нп5, то есть пучком функций, зануляющихся на некоторой замкнутой подсхеме. Обратно, эта замкнутая подсхема однозначно определяет эффективный дивизор, поэтому эффективные дивизоры Картье на <math>X</math> можно определить как замнутые подсхемы <math>X</math>, которые локально можно задать как множество нулей одной функции, не являющейся делителем нуляШаблон:Sfn. На целой отделлимой нётеровой схеме, локальные кольца которой факториальны, эффективные дивизоры Картье соответствуют в точности эффективным дивизорам ВейляШаблон:Sfn.
Примечания
Литература
Ссылки
- Шаблон:Книга — записки курса алгебраической геометрии, прочитанного в Стэнфордском университете.
