Русская Википедия:Диполь (электродинамика)
Шаблон:Значения Шаблон:Электродинамика
Дипо́ль (Шаблон:Lang-fr, от греч. di(s) «дважды» + polos «ось», «полюс», буквально — «дву(х)полюсность») — идеализированная система, служащая для приближённого описания поля, создаваемого более сложными системами зарядов, а также для приближенного описания действия внешнего слоя поля на такие системы.
Типичный и стандартный пример диполя — два заряда, равные по величине и противоположные по знаку, находящиеся друг от друга на расстоянии, очень малом по сравнению с расстоянием до точки наблюдения. Поле такой системы полностью описывается дипольным приближением при стремлении расстояния между зарядами к нулю при сохранении произведения величины заряда на расстояние между зарядами — постоянным (или стремящимся к конечному пределу; эта константа или этот предел будет дипольным моментом такой системы).
Дипольное приближение, выполнение которого обычно подразумевается, когда говорится о поле диполя, основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора, характеризующего положение зарядов-источников, и отбрасывании всех членов выше первого порядка[1].
Полученные функции будут эффективно описывать поле в случае, если:
- размеры создающей или излучающей поле системы (области, содержащей заряды) малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, так что отношение характерного размера системы к длине радиус-вектора является малой величиной и имеет смысл рассмотрение лишь первых членов разложения потенциалов в ряд;
- член первого порядка в разложении не равен 0, в противном случае нужно использовать приближение более высокой мультипольности;
- в уравнениях рассматриваются градиенты потенциалов не выше первого порядка.
Дипольный момент системы
Электрический диполь
Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.
Другими словами, электрический диполь представляет собой совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.
Произведение вектора <math>\vec l,</math> проведённого от отрицательного заряда к положительному, на абсолютную величину зарядов <math>q\,,</math> называется дипольным моментом: <math>\vec d=q\vec l.</math>
Во внешнем электрическом поле <math>\vec E</math> на электрический диполь действует момент сил <math>{\vec d}\times{\vec E},</math> который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля.
Потенциальная энергия электрического диполя в (постоянном) электрическом поле равна <math>-{\vec E}\cdot{\vec d}.</math> (В случае неоднородного поля это означает зависимость не только от момента диполя — его величины и направления, но и от места, точки нахождения диполя).
Вдали от электрического диполя напряжённость его электрического поля убывает с расстоянием <math>R</math> как <math>R^{-3},</math> то есть быстрее, чем у точечного заряда (<math>E \sim R^{-2}</math>).
Дипольное приближение для электростатического поля нейтральной системы
Любая в целом электронейтральная система, содержащая электрические заряды, в некотором приближении (то есть собственно в дипольном приближении) может рассматриваться как электрический диполь с моментом <math>\vec d = \sum_i q_i {\vec r}_i,</math> где <math>q_i</math> — заряд <math>i</math>-го элемента, <math>{\vec r}_i</math> — его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.
В точечном приближении, поле, создаваемое диполем в точке с радиус-вектором <math>{\vec r}</math> даётся следующим соотношением:
- <math>\vec {E} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{3 \vec {r} (\vec{r}, \vec{d})-{r^2} \vec{d}}{r^5}</math>
Дипольное приближение для электростатического поля не-нейтральной системы
Не электрически нейтральная система очевидным образом может быть представлена как сумма (суперпозиция) электрически нейтральной системы и точечного заряда. Для этого достаточно поместить куда-то внутрь системы точечный заряд, противоположный ее суммарному заряду, и в ту же точку еще один точечный заряд, равный ее суммарному заряду. После чего рассматривать первый заряд вместе с остальной системой (ее дипольный момент будет очевидно равен дипольному моменту, вычисленному по формуле, приведенной выше, если за начало координат взять положение добавленного точечного заряда: тогда сам добавленный заряд не войдет в выражение). Второй же точечный заряд даст кулоновское поле.
То есть, вдалеке от такой системы электростатическое поле, создаваемое ею, в дипольном приближении будет суммой (суперпозицией) кулоновского поля, создаваемого зарядом этой системы <math>Q = \sum_i q_i,</math> условно помещенного в некоторую точку внутри системы зарядов, и поля диполя с моментом <math>\vec d = \sum_i q_i {\vec r}_i,</math>, где радиус-векторы берутся от положения заряда <math>Q.</math> Нетрудно показать при этом и что такое поле в дипольном приближении не зависит от произвольно (но обязательно внутри системы зарядов или очень близко к ней) выбранного положения точечного заряда <math>Q,</math> поскольку поправка в нужном порядке будет компенсироваться изменением вычисленного дипольного момента (ведь перемещение положения заряда <math>Q</math> на некоторое <math>\vec D</math> эквивалентно наложению диполя с моментом <math>Q \vec D</math>).
Магнитный диполь
Магнитный диполь — аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» — магнитных монополей. Эта аналогия условна, так как магнитные заряды не обнаружены. В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых излучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади <math>S\,,</math> по которой течёт ток <math>I\,.</math> При этом магнитным моментом диполя (в системе СГСМ) называют величину <math>{\vec \mu} = I S {\vec n},</math> где <math>{\vec n}</math> — единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, при наблюдении в котором ток в рамке представляется текущим по часовой стрелке.
Выражения для вращающего момента <math>\vec M</math>, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь, и потенциальной энергии постоянного магнитного <math>U</math>диполя в магнитном поле, аналогичны соответствующим формулам для взаимодействия электрического диполя с электрическим полем, только входят туда магнитный момент <math>\vec m</math> и вектор магнитной индукции <math>\vec B</math>:
- <math>\vec M = \vec m \times \vec B,</math>
- <math>U = - \vec m \cdot \vec B.</math>
Поле колеблющегося диполя
В этом разделе рассматривается поле, создаваемое точечным электрическим диполем <math>\mathbf{d}(t),</math> находящимся в заданной точке пространства.
Поле на близких расстояниях (ближняя зона)
Шаблон:Нет источников в разделе Поле точечного диполя, колеблющегося в вакууме, имеет вид
- <math>\mathbf{E} = \frac{3 \mathbf{n} (\mathbf{n}, \mathbf{d})-\mathbf{d}}{R^3} +
\frac{3 \mathbf{n} (\mathbf{n}, \dot{\mathbf{d}}) - \dot{\mathbf{d}}}{c R^2} + \frac{ \mathbf{n} (\mathbf{n}, \ddot{\mathbf{d}}) - \ddot{\mathbf{d}}}{c^2 R}</math>
- <math>\mathbf{B} = \left[\frac{\dot{\mathbf{d}}}{c R^2} + \frac{\ddot{\mathbf{d}}}{R c^2} , \mathbf{n} \right] =
\left[\mathbf{n} , \mathbf{E} + \frac{\mathbf{d}}{R^3}\right],</math>
где <math>\mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R}</math> — единичный вектор в рассматриваемом направлении, <math>c</math> — скорость света.
Этим выражениям можно придать несколько другую форму, если ввести вектор Герца
- <math>\mathbf{Z} = - \frac{1}{R} \cdot \mathbf{d}\left(t-\frac{R}{c}\right).</math>
Напомним, что диполь покоится в начале координат, так что <math>\mathbf{d}</math> является функцией одной переменной. Тогда
- <math>\mathbf{E} = - \operatorname{rot}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{Z},</math>
- <math>\mathbf{B} = - \frac{1}{c}\operatorname{rot}\,\dot{\mathbf{Z}}.</math>
При этом потенциалы поля можно выбрать в виде
- <math>\mathbf{A} = - \frac{\dot{\mathbf{Z}}}{c}, ~~ \phi = \operatorname{div}\,\mathbf{Z}.</math>
Указанные формулы можно применять всегда, когда применимо дипольное приближение.
Дипольное излучение (излучение в волновой зоне или дальней зоне)
Шаблон:Нет источников в разделе Приведённые формулы существенно упрощаются, если размеры системы много меньше длины излучаемой волны, то есть скорости зарядов много меньше c, а поле рассматривается на расстояниях много больших, чем длина волны. Такую область поля называют волновой зоной. Распространяющуюся волну можно в этой области считать практически плоской. Из всех членов в выражениях для <math>\mathbf{E}</math> и <math>\mathbf{B}</math> существенными оказываются только члены, содержащие вторые производные от <math>\mathbf{d},</math> так как
- <math>\frac{\dot{\mathbf{d}}}{c} \approx \frac{d}{\lambda},</math>
- <math>\frac{\ddot{\mathbf{d}}}{c^2} \approx \frac{d}{\lambda^2}.</math>
Выражения для полей в системе СГС принимают вид
- <math>\mathbf{H} = \frac{1}{c^2 R}[\ddot{\mathbf{d}},\mathbf{n}], ~~ \mathbf{H} = [\mathbf{n} , \mathbf{E}],</math>
- <math>\mathbf{E} = \frac{1}{c^2 R}\left[ [\ddot{\mathbf{d}},\mathbf{n}] , \mathbf{n} \right], ~~ \mathbf{E} = [\mathbf{B} , \mathbf{n}].</math>
В плоской волне интенсивность излучения в телесный угол <math>d\Omega</math> равна
- <math>dI = c \frac{H^2}{4\pi}R^2 d\Omega,</math>
поэтому для дипольного излучения
- <math>dI = \frac{1}{4 \pi c^3}[\ddot{\mathbf{d}}, \mathbf{n}]^2 d\Omega
= \frac{\ddot{\mathbf{d}}^2}{4\pi c^3}\sin^2{\theta} d\Omega.</math>
где <math>\theta</math> — угол между векторами <math>\ddot{\mathbf{d}}</math> и <math>\mathbf{n}.</math> Найдём полную излучаемую энергию. Учитывая, что <math>d\Omega = 2\pi\, \sin{\theta}\, d\theta,</math> проинтегрируем выражение по <math>d\theta</math> от <math>0</math> до <math>\pi.</math> Полное излучение равно
- <math>I = \frac{2}{3 c^3} {\ddot{\mathbf{d}}}^2.</math>
Укажем спектральный состав излучения. Он получается заменой вектора <math>\ddot{\mathbf{d}}</math> на его Фурье-компоненту и одновременным умножением выражения на 2. Таким образом,
- <math>d \mathcal{E}_\omega = \frac{4 \omega^4}{3 c^3} \left| \mathbf{d}_\omega \right|^2 \frac{d\omega}{2\pi}.</math>
См. также
- Мультиполь
- Квадруполь
- Октуполь
- Дипольный момент
- Магнитный дипольный момент
- Диполярная система координат
Примечания
Литература
- Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля
- Ахманов С. А., Никитин С. Ю., «Физическая оптика», 2004.
- ↑ Для случая электростатики, магнитостатики и т.п. это означает сохранение в потенциале членов со степенями радиус-вектора от диполя к точке наблюдения −1 и −2; в случае же чисто дипольного поля (когда система источников имеет нулевой суммарный заряд) только степени −2.
