Русская Википедия:Дираковская потенциальная гребёнка

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Дираковская потенциальная гребёнка, в квантовой механике, периодический потенциал, образованный последовательностью δ-функций Дирака.

<math>U(x) = \frac{\hbar^2}{m} \Omega \sum\limits_{n = - \infty}^{\infty} \delta(x + na),</math>

где a — интервал между соседними сингулярными точками. Это простейшая модель, в которой возникает зонная структура спектра.

Уравнение Шрёдингера с потенциалом в виде дираковской потенциальной гребёнки

Уравнение Шрёдингера принимает вид

<math>-\frac{\hbar^2}{2 m} \Psi(x) + \frac{\hbar^2}{m} \Omega \sum\limits_{n = - \infty}^{\infty} \delta(x + na)\Psi(x) = E \Psi(x).</math>

Вводя обозначение <math>k = \sqrt{2mE/\hbar^2}</math>, получим:

<math>\Psi(x) + \left(k^2 - 2 \Omega \sum\limits_{n = - \infty}^{\infty} \delta(x + na) \right)\Psi(x) = 0.</math>

В интервале <math>0 < x < a</math> уравнение принимает вид:

<math>\Psi(x) + k^2 \Psi(x) = 0</math>

и его общее решение равно

<math>\Psi(x) = C_1 e^{ikx} + C_2 e^{-ikx}.</math>

Так как потенциал периодический, то в интервале <math>a < x < 2a</math> решение имеет вид

<math>\Psi(x) = e^{iKa} \left( C_1 e^{ik(x - a)} + C_2 e^{-ik(x - a)} \right).</math>

Условие непрерывности волновой функции

<math>\Psi(a + 0) = \Psi(a - 0).</math>

Интегрируя уравнение Шрёдингера в окрестности точки <math>x = a</math>, получим условие сшивки для производных:

<math>\Psi'(a + 0) = \Psi'(a - 0) + 2 \Omega \Psi(a).</math>

Учитывая эти условия, имеем:

<math>e^{iKa}(A + B) = A e^{ika} + B e^{-ika},</math>

<math>ik e^{iKa}(A - B) = ik( A e^{ika} - B e^{-ika}) + 2 \Omega (A e^{ika} + B e^{-ika}).</math>

Данное уравнение имеет нетривиальные решения при

<math>\cos Ka = \cos ka + \frac{\Omega}{k} \sin ka.</math>

Из этого следует, что зоны разрешённых значений энергии определяются неравенством

<math>|\cos ka + \frac{\Omega}{k} \sin ka| \leqslant 1.</math>

Соответствующий спектр энергий:

<math>E = \frac{\hbar^2}{2 m a^2} (ka)^2.</math>

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

Частица в периодическом потенциале