Русская Википедия:Дискретное преобразование Абеля

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Дискретным преобразованием А́беля называют следующее тождество:

<math>\sum\limits_{k=m}^n a_k b_k = a_nB_n - a_mB_{m-1} - \sum\limits_{k=m}^{n-1}(a_{k+1} - a_k)B_k,</math>

где <math>n \geqslant m \geqslant 1</math>, <math>(a_k), (b_k), (B_k)</math> — последовательности <math>(k \in \mathbb{N})</math>, при этом <math>B_k = b_1 + b_2 + \ldots + b_k</math> и <math>B_0 = 0</math>. Это преобразование было названо в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. В математическом анализе оно используется при доказательстве признака сходимости Дирихле.

Преобразование Абеля является дискретным аналогом интегрирования по частям и иногда называется суммированием по частям.

Доказательство

Имеем

<math>\begin{align}

\sum_{k=m}^n a_kb_k &= \sum_{k=m}^n a_k(B_k - B_{k-1}) = \\
                    &= \sum_{k=m}^n a_k B_k - \sum_{k=m}^n a_kB_{k-1} = \\
                    &= \sum_{k=m}^n a_k B_k - \sum_{k=m-1}^{n-1} a_{k+1} B_k = \\
                    &= a_n B_n + \sum_{k=m}^{n-1} a_k B_k - \sum_{k=m}^{n-1} a_{k+1} B_k - a_m B_{m-1} = \\
                    &= a_n B_n - a_m B_{m-1} - \sum_{k=m}^{n-1}(a_{k+1} - a_k) B_k,

\end{align}</math>

что и требовалось доказать.