Русская Википедия:Дискретное преобразование Хартли

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Дискретное преобразование Хартли (сокращённо ДПХ) — разновидность дискретного ортогонального тригонометрического преобразования. Во многих случаях может служить заменой дискретного преобразования Фурье.

Определение

Последовательность <math>N</math> действительных чисел <math>h_0</math>, <math>h_1</math>, … , <math>h_{N-1}</math> преобразуется в последовательность <math>N</math> действительных чисел <math>H_0</math>, <math>H_1</math>, … , <math>H_{N-1}</math> с помощью дискретного преобразования Хартли по формуле:

<math>H_k = \dfrac{1}{N} \sum\limits_{n=0}^{N-1} h_n \operatorname{cas} \left( \dfrac{2 \pi}{N} nk \right), \ k = 0, \ldots, N-1,</math>

где <math>\operatorname{cas} x = \cos x + \sin x</math>Шаблон:Sfn. Обратное дискретное преобразование Хартли задаётся формулой:

<math>h_n = \sum\limits_{k=0}^{N-1} H_k \operatorname{cas} \left( \dfrac{2 \pi}{N} nk \right), \ n = 0, \ldots, N-1.</math>

Следует отметить, что в отличие от дискретного преобразования Фурье (сокращённо ДПФ), преобразование Хартли даёт ряд действительных чисел.

Имеют место следующие формулы перехода от ДПФ (последовательность <math>F_0</math>, <math>F_1</math>, … , <math>F_{N-1}</math>) к ДПХ и наоборотШаблон:Sfn:

<math>H_k = \operatorname{Re} F_k - \operatorname{Im} F_k,</math>

<math>F_k = \dfrac{1}{2} (H_k + H_{N-k}) - i \dfrac{1}{2} (H_k - H_{N-k}), \ k = 0, \ldots, N-1.</math>

Быстрое преобразование Хартли

Идея быстрого преобразования Хартли (сокращённо БПХ) такая же, как и у быстрого преобразования Фурье (сокращённо БПФ): за счет симметрии можно сократить количество вычислений.

Пусть из исходной последовательности <math>h_0</math>, <math>h_1</math>, … , <math>h_{N-1}</math> получены две новые последовательности длины <math>N</math>, равные <math>\left( h_0, 0, h_2, 0, \ldots \right)</math> и <math>\left( 0, h_1, 0, h_3, \ldots \right)</math> и пусть их ДПХ равны соответственно <math>H_{1,k}</math> и <math>H_{2,k}</math>, где <math>k = 0, \ldots, N-1</math>. В этих обозначениях общая формула БПХ имеет следующий видШаблон:Sfn:

<math>H_k = H_{1,k} + H_{2,k} \cos \left( \dfrac{2\pi}{N} k \right) + H_{2,N-k} \sin \left( \dfrac{2\pi}{N} k \right).</math>

С помощью указанных выше формул перехода от ДПХ к ДПФ можно использовать БПХ для вычисления БПФ, что упрощает вычисления ввиду отсутствия комплексных умноженийШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Дискретное комплексное преобразование